Berechnen Sie
mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.
Hinweise:
- (i) Äquidistante Teilung des Intervalls
bedeuted, dass man die Teilungspunkte
, betrachtet. - (ii)
![{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{n}k={\binom {n+1}{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1dd6a2dcffb5939a16b6fc3cc94502db&mode=mathml)
- (iii)
![{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b9516decf3ba88df3c02fe202d7780f2&mode=mathml)
- (iv)
![{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{n}k^{3}={\binom {n+1}{2}}^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1c42b81fcce47decc429827fa62cf0b8&mode=mathml)
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{{Beispiel|1=
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oder
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}}
- Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient[Bearbeiten, Wikipedia, 2.03 Definition]
![{\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,k\leq n:\qquad {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=06642464b9a5ba4fe5f662c394989723&mode=mathml)
Äquivalente Definition (Merkregel):
Spezialfall:
--Gittenburg 20:04, 9. Mai 2019 (CEST)
Lösung mit Grundintegralen (Kontrolle):
Lösung mit Untersummen:
QED(?)
lt. Prof. Urbanek
Kurze Lösung:
Auch durch Summe der diskreten Untersummen lösbar, wenn man die Anzahl der Intervalle gegen unendlich wandern lässt.
Summe =
, der Klammerausdruck umgeformt
Unter Berücksichtigung des Binomischen Lehrsatzes bekommt man dann folgende Summenformel:
Summe =
Da n gegen
läuft, konvergiert
gegen 0. Wenn man dann einsetzt, ergibt sich folgendes:
Hoffe, mir ist kein gröberer Tippfehler passiert! Diese Lösung ist ähnlich wie die von Baccus.
-Hapi