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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 10, Beispiel 69}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 10, 19.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
18.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man l{\"o}se mit Hilfe der Fourier-Transformation folgende
Integralgleichung vom Fredholm-Typ f{\"u}r $x(t)$:
\begin{gather*}
    \int_{-\infty}^\infty e^{-|t-\tau|} x(\tau) \operatorname{d}\tau =
    \frac{1}{1+t^2}
\end{gather*}

\section{Lösung von Intgralgleichungen mit
$\mathcal{F}$-Transformation} Die im Gegensatz zur
$\mathcal{L}$-Transformation anmdere Form des Faltungsproduktes
ermöglicht die Lösung von Integralen vom Fredholm-Typ:
\begin{gather*}
    \int_{-\infty}^\infty k(t-\tau)x(\tau)\operatorname{d}\tau -
    \lambda x(t) = f(t), \qquad t \in \mathbb{R}
\end{gather*}
Wenn alle Funktionen absolut integrierbar sind, lautet die
Gleichung für die zugehörigen Spektralfunktionen:
\begin{gather*}
    K(\omega)X(\omega) - \lambda X(\omega) = F(\omega)
\end{gather*}
Wenn $x(t)$ dem Umkehr und Eindeutigkeitssatz genügt, erhält man
die Lösung $X(\omega)$ dieser Gleichung mit der inversen
$\mathcal{F}$-Transformation als Lösung der Integralgleichung
\begin{gather*}
    x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
    \frac{F(\omega)}{K(\omega)-\lambda}e^{i\omega t}
    \operatorname{d}\omega
\end{gather*}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
Zunächst berechnen wir aus $k(t)=e^{-|t|}$
\begin{gather*}
    \mathcal{F}\{e^{-|t|} = \frac{2}{1 + \omega^2}
\end{gather*}
(Basierend auf der folgenden Formel $\mathcal{F}\{e^{-at}\} =
\frac{2a}{a^2 + \omega^2}$).

$x(r)$ berechnen wir nun durch das Einsetzen in die Formel:
\begin{gather*}
    x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
    \frac{F(\omega)}{\frac{2}{1 + \omega^2}}e^{i\omega t}
    \operatorname{d}\omega = \frac{1}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty
    F(\omega)(1-\omega^2)e^{i\omega t}
    \operatorname{d}\omega
\end{gather*}
$\omega^2$ bedeutet, dass eine zweite Ableitung vorliegt ($f(t)$
muss zweimal differenzietbar sein) und es gilt daher fortgesetzt:
\begin{gather*}
    \frac{1}{2}f(r) - \frac{1}{2}f''(t)
\end{gather*}
Somit müssen wir die zweite Ableitung von $f(t)$ bilden:
\begin{gather*}
    f(t)=\frac{1}{1+t^2}\\
    f(t)'=-\frac{2*t}{(1+t^2)^2}\\
    f(t)''=\frac{8t^2}{(1+t^2)^3}-\frac{2}{(1+t^2)^2}
\end{gather*}


\end{document}
