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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 3, Beispiel 15}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 3, 03.11.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
01.11.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man l{\"o}se das AWP
\begin{gather*}
    yy'' + y'^2 = 1, \qquad y(0) = 1, y'(0)=-1
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Autonome
Differentialgleichungen} Konkretes Anwendungsbeispiel:
Nichtlineare Schwingungen  Die untenstehende, autonome (= von der
Zeit $t$ unabh{\"a}ngige) Differentialgleichung tritt z.B. immer dann
auf, wenn die Zustands{\"a}nderung $x''$ einer skalaren Gr{\"o}sse $x$ nur
vom Zustand $(x,x')$ und nicht von der Zeit $t$ abh{\"a}ngt.

L{\"o}sungsverfahren f{\"u}r die autonome Differentialgleichung: $'' =
f(x, x')$, $x(t_0) = x_0$, $x'(t_0) = v_0$:
\begin{enumerate}
    \item S{\"a}mtliche Nullstellen $\eta$ von $f(\eta,0)=0$
    bestimmen. $x(t)=\eta$ ist jeweils partikul{\"a}re L{\"o}sung
    (Ruhelage)
    \item Substitution $x' = v$, $x'' = v\cdot v'$ ergibt f{\"u}r
    $v(x)$ die Differentialgleichung
    \begin{gather*}
        v\cdot v' = f(x,v)
    \end{gather*}
    \item Allgemeine L{\"o}sung $v(x) = v(x,c_1)$, $c_1 \in
    \mathbb{R}$ bestimmen
    \item Anfangswertproblem $c_1$ aus $v_0 = v(x_0, c_1)$
    berechnen
    \item Allgemeine implizite L{\"o}sung ist
    \begin{gather*}
        t + c_2 = \int \frac{d\xi}{v(\xi,c_1)}
    \end{gather*}
    \item Implizite L{\"o}sung des Anfangswertproblems:
    \begin{gather*}
        t + c_0 = \int \frac{d\xi}{v(\xi,c_1)}
    \end{gather*}
\end{enumerate}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
Zun{\"a}chst Umformung auf
\begin{gather*}
    y'' + \frac{y'^2}{y} = \frac{1}{y},
\end{gather*}
danach Substitution
\begin{gather*}
    y' = v(y), y'' = v(y) \cdot v'(y),
\end{gather*}
Weiters Einsetzen:
\begin{gather*}
    v' \cdot v' + \frac{v^2}{y} = \frac{1}{y} \\
    v' \cdot v = \frac{1 - v^2}{y} \\
    \frac{v'}{v} = \frac{1-v^2}{y}\\
    \frac{v'}{v} = \frac{1-v^2}{y} \cdot \frac{1}{v^2} =
    \frac{1}{y}\cdot \frac{1-v^2}{v^2}\\
    \frac{v'}{1-v^2} = \frac{1}{y} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{v}{1-v^2} \, \, \,
    dv= \frac{1}{y} \, \, \, dy
\end{gather*}
Partialbruchzerlegung der linken Seite:
\begin{gather*}
    \frac{v}{1-v^2} = \frac{A}{1-v} + \frac{B}{1+v} \qquad |
    \, \, :(1-v^2)\\
    v= A(1-v( + B(1+v)\\
    v = A - Av + B + Bv \\
    I: \qquad 0 = A + b \qquad \Rightarrow \qquad A = -B\\
    II: v = Bv - Av \qquad \Rightarrow \qquad 1 = b - A \qquad \text{Einsetzen } A = -B \Rightarrow
    \qquad B=\frac{1}{2}, A=-\frac{1}{2}\\
    \frac{v}{1-v^2} = \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{1-v} -
    \frac{1}{1+v})\\
    \frac{1}{2} \dot \int (\frac{1}{1-v} -
    \frac{1}{1+v}) \, \,\, dv = \int \frac{1}{y} \, \, \, dy\\
    \frac{1}{2}(-\ln (1-v) - \ln (1+v)) = \ln y + c
\end{gather*}

Erhalten dann  $C_1 = 0$. Kontrolle: $v^2 = 1 - y^{-2} \cdot C_1$
ergibt $v^2=1 \qquad\surd$

Dann mit $y'$ integrieren, um $C_2$ zu erhalten. $Y'$ von $y'(0) =
-1$ -  $y = \int -1 \, \, dx = -x + C_2$ - $y(0) = 0 + C_2$, daher
$C_2 = 1$, da laut Angabe $y(0) = 1$ ist. Somit gilt: $\mathbf{y =
-x + 1}$



\end{document}
