\documentclass[a4paper]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{listings}
\usepackage{color} % f{\"u}r den grauen Hintergrund

%\usepackage{endnotes}

\setlength{\parindent}{0 em}

\definecolor{Gray}{gray}{0.9}

\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny,
stepnumber=1, numbersep=5pt}

\DeclareGraphicsExtensions{.eps}

%\DeclareGraphicsRule{.gif}{eps}{}{`convert #1 'eps:-'}

  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 7, Beispiel 46}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 7, 01.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
07.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man betrachte das inhomogene lineare RWP
\begin{gather*}
    L[y] := y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \dots + a_(x)y(x) =
    b(x); \qquad R\vec{y}(a) + S\vec{y}(b) = \vec{p}
\end{gather*}

Man zeige nun: falls eine Funktion $\psi(x)$ die inhomogene
Randbedingung erfüllt, also $R\vec{\psi}(a) + S\vec{\psi}(b) =
\vec{p}$, dann führt die Substitution $z(x) := y(x) - \psi(x)$ auf
ein halbhomogenes lineares Randwertproblem für die Funktion
$z(x)$.

\section{Theoretische Grundlagen: Randwertaufgaben (allgemein)}
        Definition: Treten in der Bestimmungsgleichung f{\"u}r die
        eindeutige Charakterisierung der L{\"o}sung einer DGL
        Auswertungen der gesuchten Funktion und deren Ableitungen
        nicht nur an einer Stelle (wie beim AWP), sondern an zwei
        Stellen $a \neq b$ auf, dann spricht man von einer \textbf{Randwertaufgabe
        (RWA)} bzw. von einem \textbf{Randwertproblem (RWP)}.

        Allgemeines Prinzip zur L{\"o}sung von RWA/RWP:
        \begin{itemize}
            \item Auffinden der allgemeinen L{\"o}sung der gegebenen
            DGL (mit Parametern $c_1, c_2, \dots, c_n$)
            \item Anpassen der Koeffizienten $c_1, c_2, \dots,
            c_n$ durch Einsetzen der Randbedingungen in die
            allgemeine L{\"o}sung
        \end{itemize}
        $\Rightarrow \qquad$ Gleichungssystem $c_1, c_2, \dots, c_n$

        Spezialfall: DGL ist linear und Randbedingungen sind auch
        Linear $\qquad \Rightarrow \qquad$ Lineares
        Gleichungssystem f{\"u}r $c_1, c_2, \dots, c_n$.

        Falls nichtlineare RWA/RWP, so ist das Problem i.A.
        wesentlich komplizierter.

        Für die Differentialgleichung 2. Ordnung
        \begin{gather*}
            y''=f(x,y,y'), \qquad a \leq x \leq b, a < b
        \end{gather*}

        tritt meist eine der vier folgenden Randbedingungen auf:
        \begin{gather*}
            \begin{matrix}
              (1) & \qquad & y(a)=r_1 & \qquad & y(b)=r_2 & \qquad & \text{1. Art} \\
              (2) & \qquad & y'(a)=r_1 & \qquad & y'(b)=r_2 & \qquad & \text{2. Art} \\
              (3) & \qquad & a_1y(a) + a_2y'(a)=r_1 & \qquad & b_1y(b) + b_2y'(b)=r_2 & \qquad & \text{3. Art} \\
              (4) & \qquad & y(a)=y(b) & \qquad & y'(a)=y'(b) & \qquad & \text{Period. Randbed.} \\
            \end{matrix}\\
            (r_1,r_2,a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{R})
        \end{gather*}
        In (1),(2) und (3) treten in jeder Gleichung nur die Werte
        für ein Intervallende auf (Randbedingungen sind separier).

        Fall (4) führt mit $T=b-a$ zu $T$-periodischen Lösungen,
        falls $f(x,y,y')$ ebenfalls $T$-periodisch in $x$ ist.

\subsection{Lineare Randwertprobleme, Alternativsatz, Lösung des RWP}
Seien $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a < b$. Ein Randwertproblem
mit einer linearen Differentialgleichung
\begin{gather*}
    L(y) = \sum_{v=0}^n p_v(x)\cdot y^{(v)} = q(x)
\end{gather*}
der Ordnung $n$ und $n$ linearen Randbedingungen
\begin{gather*}
    R_{\mu}(y(a)) = \sum_{v=0}^{n-1} \alpha_{v\mu}\cdot
    y^{(v)}(a)=\alpha_\mu, \qquad \mu = 1,\dots,s\\
    R_{\mu}(y(b)) = \sum_{v=0}^{n-1} \beta_{v\mu}\cdot
    y^{(v)}(b)=\beta_\mu, \qquad \mu = s+1,\dots,n
\end{gather*}
heist ein \textbf{lineares Randwertproblem der Ordnung} $n$.

Dabei sind die stetigen Funktionen $p_v(x)$, $q(x)$ sowie die
Zahlen $\alpha_{v\mu}$, $\beta_{v\mu}$, $\alpha_\mu$, $\beta_\mu$
gegeben. Das lineare Randwertproblem heisst
\begin{itemize}
    \item vollhomogen, falls $q(x) \equiv 0$ und $\alpha_\mu = 0$, $\beta_\mu = 0$ für
    alle $\mu$ gilt
    \item halbhomogen, falls entweder $q(x) \equiv 0$ oder alle $\alpha_\mu, \beta_\mu = 0$
    sind
    \item inhomogen sonst.
\end{itemize}

Jedes inhomogene lineare Randwertproblem l¨asst sich
folgendermaßen in ein halbhomogenes Randwertproblem umformen:
\begin{itemize}
    \item Sei $\psi(x)$ eine spezielle L¨osung der Differentialgleichung. Es gilt
    also $L(\psi) = q(x)$. Mit dem Ansatz $y(x) = \psi(x) + z(x)$ ergeben sich
    für $z$ die homogene Differentialgleichung $L(z) = 0$ und die neuen Randbedingungen
    \begin{gather*}
        R_{\mu}(z(a)) =\tilde{\alpha}_\mu, \qquad \mu = 1,\dots,s\\
        R_{\mu}(z(b)) =\tilde{\beta}_\mu, \qquad \mu = s+1,\dots,n
    \end{gather*}
    mit $\tilde{\alpha}_\mu := R_\mu(\psi(a))$ und $\tilde{\beta}_\mu := \beta_\mu - R_\mu(\psi(b))$.
    \item Sei $\psi^\ast(x)$ eine Funktion, die die folgenden Randbedingungen
    erfüllt:
    \begin{gather*}
        R_{\mu}(\psi^\ast(a)) =\alpha_\mu, \qquad 1 \leq \mu \leq s\\
        R_{\mu}(\psi^\ast(b)) =\beta_\mu, \qquad s+1\leq \mu \leq
        n
    \end{gather*}
    Mit dem Ansatz $y(x) = \psi^\ast(x) + \omega(x)$ ergibt sich für $\omega$ die
    lineare Differentialgleichung
    \begin{gather*}
        L(\omega)=\tilde{q} \qquad \text{mit} \qquad \tilde{q}(x) =
        q(x) - L(\psi^\ast)
    \end{gather*}
    und die homogenen Randbedingungen
    \begin{gather*}
        R_{\mu}(\omega(a)) =0, \qquad \mu = 1,\dots,s\\
        R_{\mu}(\omega(b)) =0, \qquad \mu = s+1,\dots,n
    \end{gather*}
    In beiden Fällen ist ein halbhomogenes Randwertproblem entstanden.
\end{itemize}
Zur Untersuchung der Lösbarkeit linearer Randwertprobleme können
wir ohne Einschränkung stets von einem halbhomogenen
Randwertproblem mit einer homogenen Differentialgleichung
ausgehen. Es gilt der \textbf{Alternativsatz}: Ausgangspunkt sei
das Randwertproblem aus mit $q(x) \equiv 0$. Es sei $\{y_1(x),
\dots , y_n(x)\}$ ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen
Differentialgleichung $L(y) = 0$, und es sei ferner
\begin{gather*}
    \triangle := \operatorname{det} \, R := \operatorname{det}\begin{pmatrix}
      R_1(y_1(a)) & \cdots & R_1(y_n(a)) \\
      \vdots &  & \vdots \\
      R_s(y_1(a)) & \cdots & R_s(y_n(a)) \\
      R_{s+1}(y_1(b)) & \cdots & R_{s+1}(y_n(b)) \\
      \vdots &  & \vdots \\
      R_n(y_1(b)) & \cdots & R_n(y_n(b)) \\
    \end{pmatrix}
\end{gather*}
sowie
$\gamma=(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_{s+1},\dots,\beta_n)^T$.

Es gibt drei Alternativen:
\begin{itemize}
    \item Ist $\triangle\neq 0$, dann ist das Randwertproblem eindeutig lösbar.
    \item Ist $\triangle = 0$ und gilt $\operatorname{rg} \, R = \operatorname{rg} (R, \gamma)$,
    dann hat das Randwertproblem unendlich viele Lösungen.
    \item Ist $\triangle = 0$ und gilt $\operatorname{rg} \, R < \operatorname{rg} (R, \gamma)$,
    dann ist das Randwertproblem unlösb ar.
\end{itemize}

Anmerkungen:
\begin{itemize}
    \item Erinnerung an den Begriff des Ranges einer Matrix $M$: $\operatorname{rg} \,
    M$ (der Rang von $M$) ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten
    (oder Zeilen) der Matrix $M$. Ist $a$ ein Spaltenvektor mit genauso
    viel Komponenten, wie $M$ Zeilen besitzt, dann ist $(M, a)$ die
    Matrix, die aus $M$ durch Hinzufügen der Spalte $a$ entsteht.
    \item Ist das Randwertproblem vollhomogen, dann existiert bei der ersten Alternative
    nur die triviale Lösung $y(x) \equiv 0$. Die dritte Alternative tritt nicht auf.
\end{itemize}

Zusammengefasst die \textbf{Schritte zur Lösung eines linearen
Randwertproblemes}:
\begin{enumerate}
    \item Man bestimme eine spezielle Lösung $\psi(x)$ der inhomogenen Differentialgleichung
    $L(y) = q(x)$ und forme das Randwertproblem in ein halbhomogenes
    Randwertproblem mit homogener Differentialgleichung um.
    \item Man berechne ein Fundamentalsystem aus Lösungen
    $\{z_1(x), \dots , z_n(x)\}$ von $L(z) = 0$, bilde die
    Matrix $R$ und den Vektor $\gamma=(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_s,\tilde{\beta}_{s+1},\dots,\tilde{\beta}_n)^T$.
    \item Im Falle der Lösbarkeit (ersten beiden Alternativen) löse
    man das lineare Gleichungssystem $R \cdot c = \gamma$ nach $c = (c_1, \dots , c_n)^T$ auf.
    \item Die gesuchte Lösung des Randwertproblems lautet nun:
    \begin{gather*}
        y(x)=\psi(x) + \sum_{k=1}^n c_k \cdot z_k(x)
    \end{gather*}
\end{enumerate}


\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    L[y]=y^{(n)}(x) + \sum_{t=0}^{n-1} a_k(x)\cdot y^{(k)}(x) = b(x),
    \qquad R\vec{y}(a) + S\vec{y}(b) = \vec{p}\\
    R\vec{\psi}(a) + S\vec{\psi}(b) =\vec{p}\\
    z(x)=y(x) - \psi(x) \,\, \Rightarrow \,\, y(x)=z(x)+\psi(x)\\
    L[y] = \underbrace{(z^{(n)}(x) + \varphi^{(n)}(x))}_{y^{(n)}}
    + \sum_{t=0}^{n-1} a_k(x)\cdot(z^{(k)}(x) + \varphi^{(k)}) =
    b(x)\\
    \hat{L}[z] = z^{(n)}(x) + \sum_{t=0}^{n-1} a_k(x)\cdot
    z^{(k)}(x)= \hat{b}(x), \qquad \hat{b}(x) = b(x) -
    \varphi^{(n)}(x)-\sum_{t=0}^{n-1} a_k(x)\cdot
    \psi^{(k)}(x)\\
    R(\vec{z}(a) + \vec{\psi}(a)) + S(\vec{z}(b) + \vec{\psi}(b))
    = \vec{p}\\
    R\vec{z}(a) + S\vec{z}(b) + \vec{p} = \vec{p} \,\, \Rightarrow
    \,\, \mathbf{R\vec{z}(a) + S\vec{z}(b) = \vec{0}}
\end{gather*}



\end{document}
