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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 3, Beispiel 18}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 3, 03.11.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
01.11.2006, 06.12.}
\end{center}

\section{Angabe}
Gegeben sei das AWP $y' = x - y, y(0) = 1$. Man berechne die
exakte L{\"o}sung und ermittle anschliessend, wie gross $n$ mindestens
gew{\"a}hlt werden muss, damit beim Euler-Verfahren der relative
Fehler f{\"u}r $y(x)$ an der Stelle $x = 1$ maximal 15\% betr{\"a}gt.

\section{Theoretische Grundlagen: Euler-Verfahren}
Das Euler-Verfahren ist ein numerisches Vefahren zur L{\"o}sung von
Anfangswertproblemen. Die Idee ist, denn Differentialquotienten
$y' = \frac{\partial y}{\partial x}$ durch den
Differenzenquotienten $\frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{y(x
+ h) - y(x)}{h}$ zu ersetzen ($h$ ist die Schrittweite):
\begin{gather*}
    f(x,y(x)) = y'(x) = \frac{\partial y}{\partial x} \approx \frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{y(x
+ h) - y(x)}{h}
\end{gather*}
Die Aufl{\"o}sung nach $y(x+h)$ ergibt
\begin{gather*}
    y(x + h) \approx y(x) + hf(x,y(x))
\end{gather*}
Wenn wir nun den bekannten Anfangswerk $y_0 = y(x_0)$, eine kleine
Schrittweite $h$ w{\"a}hlen und $x=x_0$ und $y=y_0$ setzen, erhalten
wir mit $y_1$ eine N{\"a}herung f{\"u}r den exakten Wert $y(x_0 +h)$:
\begin{gather*}
    y(x_1) = y(x_0 + h) \approx y_0 + fh(x_0,y_0) =: y_1
\end{gather*}
Daraus k{\"o}nnen wir $y_2$ errrechnen usw. worazs such folgende
allgemeine Formel ergibt:
\begin{gather*}
    y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n)
\end{gather*}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
$y' = x - y$ wird nach folgender Formel aufgel{\"o}st (Lineare
inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung in der Form $y' +
p(x)y = r$ ($r$ ist St{\"o}rfunktion, singul{\"a}r oder nur von $x$
abh{\"a}ngig)):
\begin{gather*}
    h = \int p(x) \, \,  \, dx \\ y(x) = e^{-h} (\int e^hr \, \, \,dx + c)
\end{gather*}
(Quelle: Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9.Aufl.,
S.26ff.)
\begin{gather*}
    p=1, \qquad r=y, \qquad h = \int p \,\,\, dx = x \\
    y(x) = e^{-x} \cdot (\int e^x \cdot x + c) \\
    \int u\cdot v' \,\,\, dx= u \cdot v - \int u' \cdot v \,\,\, dx\\
    u = x, u' = 1, \qquad v' = e^x, v= e^x\\
    \Rightarrow \qquad \int e^x  \cdot x \,\,\, dx = x\cdot e^x - \int
    e^x \,\,\, dx = x \cdot e^x - e^x \\
    \Rightarrow \qquad  y(x) = e^{-x} \cdot (x \cdot e^x - e^x +
    c) = x - 1 + c \cdot e^{-x}
\end{gather*}

L{\"o}sung des AWP $y(0)=1$ ergibt f{\"u}r $c=2$ und die spezielle L{\"o}sung
\begin{gather*}
    y(x) = x - 1 + 2 \cdot e^{-x}
\end{gather*}

Zum Euler-Cauchy-Verfahren:
\begin{gather*}
    y_{k+1}=y_k + h\cdot \underbrace{F(x_k,y_k,h)}_{f(x_k,y_k) =
    x_k 0 y_k}\\
    h = \frac{x - x_0}{h} = \frac{1 - 0}{h} \,\,
    \text{Schrittweite } \, \frac{1}{h}\\
    \text{Stuetzstellen }\, x_k = x_0 + kh\\
    y_{k+1} = y_k + \frac{1}{h}(\underbrace{x_0}_{0} +
    k\underbrace{h}_{\frac{1}{h}} - y_k) \, \, \Rightarrow \,\, y_{k+1} = y_k + \frac{1}{h^2}k -
    \frac{1}{h}y_k\\
    y_{k+1} = y_k(1 - \frac{1}{h}) + k\frac{1}{h^2}\\
    \Rightarrow \text{Allgemeine Formel (Maple):}\\
    y_k = \underbrace{y(0)}_{1} \cdot (1 - \frac{1}{h})^k + (1 -
    \frac{1}{h})^k + \frac{k+1}{h} - \frac{1+h}{h}\\
    y_k=2(1 - \frac{1}{h})^k
\end{gather*}

Exakter Wert: $y(1)= 0.7358$.

Relativer Fehler: $y_{\text{exakt}} - 2(1 - \frac{1}{h})^k = 0.15$
(15\%). Ergibt besten Wert für $h=3.76$ ($4$).



\end{document}
