\documentclass[a4paper]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{listings}
\usepackage{color} % f{\"u}r den grauen Hintergrund

%\usepackage{endnotes}

\setlength{\parindent}{0 em}

\definecolor{Gray}{gray}{0.9}

\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny,
stepnumber=1, numbersep=5pt}

\DeclareGraphicsExtensions{.eps}

%\DeclareGraphicsRule{.gif}{eps}{}{`convert #1 'eps:-'}

  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 9, Beispiel 58}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 9, 12.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
08.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man berechne die Spektralkoeffzienten des N-periodischen diskreten
Rechteckimpulses $(x_k)_k$ mit $>x_0 = x_{N-1} = 1$ und $x_j = 0$
f{\"u}r $j = 1,2,...,N - 2$.


\section{Theoretische Grundlagen: Spektraldarstellung der Fourier-Reihe}
\begin{gather*}
    f(x)=s(x)=\frac{a_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^\infty d_k \cdot \sin
    (k\cdot x + \varphi_k)
\end{gather*}

        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.8]{spektraldarstellung.eps}
        \end{center}

mit der gemeinsamen Fourier-Amplitude
\begin{gather*}
    d_k = \sqrt{a_k^2 + b_k^2}, \varphi_k=\arctan \frac{a_k}{b_k}
    \, \, \forall \, b_k > 0
\end{gather*}

Die \textbf{komplexe Form der Fourier-Reihe} lautet:
\begin{gather*}
    f(x)=s(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot e^{j \cdot k \cdot
    x},\qquad T=2\cdot \pi
\end{gather*}
Mit dem \textbf{Spektrum} der Funktion $f(x)$ (komplexe
Fourier-Koeffizienten bzw. \textbf{Spektralkoeffizienten} $c_k$)
\begin{gather*}
    c_k = \frac{1}{2\cdot \pi} \cdot \int_0^{2 \cdot \pi} f(x)
    \cdot e^{-j \cdot k \cdot x} \operatorname{d}x =
    \begin{cases}\frac{a_0}{2}, & \text{wenn } k= 0\\ \frac{1}{2}\cdot (a_k - j \cdot b_k), & \text{wenn }
    k>0\\ \frac{1}{2}\cdot (a_{-k} + j \cdot b_{-k}), & \text{wenn }
    k<0\end{cases}
\end{gather*}

Beziehungen:
\begin{gather*}
    a_k = c_k + c_{-k}, \qquad b_k=k\cdot(c_k - c_{-k})
\end{gather*}

\newpage

Zeitfunktion (Elektrotechnik): $x := \omega \cdot t$
\begin{itemize}
    \item Bezugs- (Grund-) Kreisfrequenz: $\omega_0=\frac{2\dot \pi}{T}$
    \item Kreisfrequenz: $\omega_k = k \cdot \omega_0$
    \item Periodemdauer: $T$
    \item (Linien-) Spektrum von $f(x)$: $2\cdot \pi \cdot c_k$
    bzw. $T \cdot c_k$
    \item Frequenzabstand zweier Spektrallinien: $\triangle\omega_0=\frac{2\cdot \pi}{T}$
\end{itemize}
\begin{gather*}
    f(t)=s(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot e^{i \cdot k \cdot
    \omega_0 \cdot t}
\end{gather*}
mit den Fourier-Koeffizienten
\begin{gather*}
    c_k=\frac{1}{T} \cdot \int_0^T f(t) \cdot r^{-j \cdot k \cdot
    \omega_0 \cdot t} \operatorname{d}t
\end{gather*}


\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\begin{gather*}
    x_k=\begin{pmatrix}
      1 \\
      0 \\
      \vdots \\
      0 \\
      1 \\
    \end{pmatrix}\\
    c_k=\frac{1}{N} \cdot \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{-k
    \cdot j \cdot \frac{2 \cdot \pi}{N}} \qquad \text{wegen}\\
    c_0 = \frac{1}{N} \cdot \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{0} = \frac{2}{N}\\
    c_1 = \frac{1}{N} \cdot \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{-j}
    = \frac{1}{N} \cdot (1 + \omega^{-(N-1)})\\
    c_2 = \frac{1}{N} \cdot \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{-2 \cdot j}
    = \frac{1}{N} \cdot (1 + \omega^{-2\cdot (N-1)})\\
    \vdots \\
    c_k = \frac{1}{N} \cdot \sum_{j=0}^{N-1} y_j \cdot \omega^{-k \cdot j}
    = \frac{1}{N} \cdot (1 + \omega^{-k \cdot (N-1)})
\end{gather*}


\end{document}
