Title: ADM26 / Zahlen
Tags: DiskreteMathematik::Kapitel1

Rechenregeln komplexe Zahlen

Division komplexer Zahlen

Wurzel komplexe Zahl

Satz von Vieta

Q: Was ist eine Einheit in \( \mathbb{Z}_m \)?
A: Eine Zahl \( a \in \mathbb{Z}_m \) ist eine Einheit, wenn sie ein multiplikatives Inverses in \( \mathbb{Z}_m \) besitzt.
Kriterium:
\[\text{ggT}(a, m) = 1 \Rightarrow a \text{ ist eine Einheit}\]
Beispiel in \( \mathbb{Z}_{15} \):
\( \text{Einheiten} = \{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\} \)

Q: Was ist die Einheitengruppe \( \mathbb{Z}_m^\times \)?
A: Die Einheitengruppe \( \mathbb{Z}_m^\times \) ist die Menge aller Einheiten in \( \mathbb{Z}_m \) mit der Multiplikation modulo \( m \) als Operation.
Formal:
\[\mathbb{Z}_m^\times = \{ [a]_m \in \mathbb{Z}_m \mid \text{ggT}(a, m) = 1 \}\]
Beispiel:
\[\mathbb{Z}_{15}^\times = \{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}\]

Q: Zeige Allgemeines Schema: Vollständige Induktion zur Teilbarkeit
A: Gegeben:
Eine Zahlenfolge \( A(n) \), explizit oder rekursiv definiert, z. B.
\[A(n) = f(n)\]
Zu zeigen:
\[d \mid A(n) \quad \text{für alle } n \in \mathbb{N}\]
Beweisschema:
1. Induktionsanfang (IA):
Zeige: \[d \mid A(0) \quad \text{(oder anderer Startwert wie } n = 1\text{)}\]
2. Induktionsvoraussetzung (IV):
Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges aber festes \( n \in \mathbb{N} \):
\[A(n) = d \cdot k_n \quad \text{für ein } k_n \in \mathbb{Z}\]
3. Induktionsschritt (IS):
Zeige: \[A(n+1) = d \cdot k_{n+1} \quad \text{für ein } k_{n+1} \in \mathbb{Z}\]
Typische Strategie:
- Drücke \( A(n+1) \) in Bezug auf \( A(n) \) aus.
- Verwende IV: \( A(n) = d \cdot k_n \).
- Zeige, dass alle Terme durch \( d \) teilbar sind.
Typische Umformungstechnik:
Wenn \[A(n+1) = c \cdot A(n) + R(n)\] prüfe:
- Ist \( A(n) \) durch \( d \) teilbar? (→ IV)
- Ist \( R(n) \) durch \( d \) teilbar?
Dann gilt: \( d \mid A(n+1) \).
Beispiel:
\[A(n) = 7^n - 2^n, \quad \text{Zeige: } 5 \mid A(n) \quad \forall n \in \mathbb{N}\]
IS – Ausformuliert: \[\begin{aligned} A(n+1) &= 7^{n+1} - 2^{n+1} \\ &= 7 \cdot 7^n - 2 \cdot 2^n \\ &= 7 \cdot (7^n - 2^n) + 5 \cdot 2^n \\ &= 7 \cdot A(n) + 5 \cdot 2^n \end{aligned}\]
Verwende IV: \[A(n) = 5 \cdot k_n \Rightarrow 7 \cdot A(n) = 5 \cdot (7k_n)\]
Daher: \[A(n+1) = 5 \cdot (7k_n + 2^n) \Rightarrow 5 \mid A(n+1)\]
Fazit – Methode:
"Teilbarkeitsinduktion mit algebraischer Umformung"
1. Drücke \( A(n+1) \) über \( A(n) \) und andere Terme aus.
2. Wende die IV an.
3. Faktorisierung: Ziehe \( d \) aus allen Summanden heraus.
4. Schlussfolgerung: \( d \mid A(n+1) \) folgt direkt.

Q: Wie lautet die zweite binomische Formel?
A: Zweite binomische Formel:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Q: Wie lautet die dritte binomische Formel (Produktregel)?
A: Dritte binomische Formel:
\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]

Q: Wie lautet die binomische Formel für \( (a + b)^3 \)?
A: Binomische Formel (hoch 3):
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Q: Wie lautet die binomische Formel für \( (a - b)^3 \)?
A: Binomische Formel (hoch 3):
\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]

Q: Wie lautet das Potenzgesetz für \( \frac{a^n}{a^m} \) (mit \( a \neq 0 \))?
A: Potenzgesetz – Division gleicher Basis:
\[\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \quad \text{für } a \neq 0\]

Q: Wie lautet das Potenzgesetz für \( (a^n)^m \)?
A: Potenzgesetz – Potenz einer Potenz:
\[(a^n)^m = a^{n \cdot m}\]

Q: Wie lautet das Potenzgesetz für \( (ab)^n \)?
A: Potenzgesetz – Produkt hoch n:
\[(ab)^n = a^n \cdot b^n\]

Q: Wie lautet das Potenzgesetz für \( \left(\frac{a}{b}\right)^n \)?
A: Potenzgesetz – Quotient hoch n:
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{für } b \neq 0\]

Q: Wie lautet die Formel für die Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen?
A: Arithmetische Summe:
\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\]

Q: Wie lautet die Formel für die Summe der ersten \( n \) Quadratzahlen?
A: Quadratsummenformel:
\[\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Q: Wie lautet die Formel für die Summe der ersten \( n \) Kubikzahlen?
A: Kubiksummenformel:
\[\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\]

Q: Wie lautet die geometrische Summenformel für \( \sum_{k=0}^{n} q^k \)?
A: Geometrische Reihe (endliche Summe):
\[\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} \quad \text{für } q \neq 1\]

Q: Wie lautet die Faktorisierungsformel für \( a^3 + b^3 \)?
A: Summe von Kuben:
\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\]

Q: Wie lautet die Faktorisierungsformel für \( a^3 - b^3 \)?
A: Differenz von Kuben:
\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]

Q: Welche Rechenregel gilt für die Addition von Kongruenzen modulo \( m \)?
A: Modulo – Addition:
\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a + c \equiv b + c \pmod{m}\]

Q: Welche Rechenregel gilt für die Multiplikation von Kongruenzen modulo \( m \)?
A: Modulo – Multiplikation:
\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a \cdot c \equiv b \cdot c \pmod{m}\]

Q: Welche Rechenregel gilt für Potenzen bei Kongruenzen modulo \( m \)?
A: Modulo – Potenzen:
\[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a^k \equiv b^k \pmod{m}\]

Q: Definition: Rationale Zahl
A: Eine reelle Zahl \( x \) heißt rational, wenn sie als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann:
\[x = \frac{p}{q} \quad \text{mit} \quad p, q \in \mathbb{Z}, \, q \neq 0\]
Falls der Bruch vollständig gekürzt ist, gilt zusätzlich \( \operatorname{ggT}(p, q) = 1 \).

Q: Definition: Irrationale Zahl
A: Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht rational ist, d.h., wenn es keine ganze Zahlen \( p, q \) mit \( q \neq 0 \) gibt, sodass
\[x = \frac{p}{q}.\]

Q: Satz: Primzahl teilt Quadrat ⇒ Primzahl teilt Basis
A: Sei \( p \) eine Primzahl und \( n \in \mathbb{Z} \). Gilt \( p \mid n^2 \), so folgt bereits \( p \mid n \).
Begründung:
Folgt direkt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.

Q: Hilfssatz: Primfaktorzerlegung (Fundamentalsatz der Arithmetik)
A: Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung)
Aussage:
Jede natürliche Zahl \( n \geq 2 \) lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen schreiben:
\[n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\] wobei gilt:
- \( p_i \) sind Primzahlen mit \( p_i \neq p_j \) für \( i \neq j \),
- \( a_i \in \mathbb{N} \) (also \( a_i \geq 1 \)),
- \( k \in \mathbb{N} \) ist die Anzahl der verschiedenen Primteiler von \( n \).
Besonderheit für \( n = 1 \):
Für \( n = 1 \) gilt per Definition die leere Zerlegung (das neutrale Element der Multiplikation).
Beispiel:
Für \( n = 180 \):
\[180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1\] Wichtige Anwendung in ADM:
Die Primfaktorzerlegung ist Grundlage für viele Beweise über Teilbarkeit, ggT, kgV sowie zentrale Beweismethoden wie den Beweis durch Widerspruch bei Irrationalitätsbeweisen.

Q: Beispiel: Beweis der Irrationalität von \( \sqrt{3} \)
A: Behauptung: \( \sqrt{3} \) ist irrational.
Beweis (indirekt):
Annahme: \( \sqrt{3} = \frac{p}{q} \) mit \( p, q \in \mathbb{Z} \), \( q \neq 0 \), \( \operatorname{ggT}(p, q) = 1 \).
Quadratieren: \( 3 = \frac{p^2}{q^2} \implies 3q^2 = p^2 \).
Daraus folgt \( 3 \mid p^2 \implies 3 \mid p \).
Setze \( p = 3k \): \( 3q^2 = (3k)^2 \implies 3q^2 = 9k^2 \implies q^2 = 3k^2 \).
Daraus folgt \( 3 \mid q \).
Widerspruch zu \( \operatorname{ggT}(p, q) = 1 \).
Folglich ist \( \sqrt{3} \) irrational.

Q: Lineare Kongruenz: Lösbarkeit
A: Gegeben sei die Kongruenz: \[ax \equiv b \pmod{m}\] Wann ist diese Kongruenz lösbar?
Antwort:
Die Kongruenz ist genau dann lösbar, wenn gilt: \[\gcd(a, m) \mid b.\] Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so besitzt die Kongruenz keine Lösung.

Q: Wie berechnet man den Kehrwert \(\frac{1}{z}\) einer komplexen Zahl \(z = a+bi \neq 0\) in kartesischer Darstellung?
A: Der Kehrwert von \(z = a+bi\) ist: \[\frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}\]
Intuition:
Man erweitert mit dem komplex Konjugierten, um den Nenner reell zu machen.
Benötigt für:
Rechnen mit komplexen Zahlen, Multiple-Choice zu Kehrwerten.