Title: ADM26 / Algebraische Strukturen

Q: Was ist eine Faktorgruppe?
A: Sei \( G \) eine Gruppe und \( H \leq G \) eine Normalteiler-Untergruppe. Dann ist die Menge der Nebenklassen \( G/H \) mit der Operation \[(a\circ H) \circ (b\circ H) = (a\circ b)\circ H\] eine Faktorgruppe (Quotientengruppe).
Wichtig: Die Operation ist wohl-definiert nur wenn \( H \) normal in \( G \) ist.

Q: Wann ist eine Untergruppe ein Normalteiler?
A: Eine Untergruppe \( H \leq G \) ist ein Normalteiler, wenn für alle \( g \in G \) gilt: \[gH = Hg \quad \text{(links- und rechtsnebenklasse stimmen überein)}\]
Äquivalent:
\[\forall g \in G: gHg^{-1} \subseteq H\]

Q: Was ist ein Ring:
A: Ein Ring ist ein Tripel \( (R, +, \cdot) \) mit folgenden Eigenschaften:
- \( (R, +) \) ist eine abelsche Gruppe:
  - Abgeschlossenheit: \( a + b \in R \)
  - Assoziativität: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
  - Neutrales Element: \( 0 \in R \): \( a + 0 = a \)
  - Inverses Element: \( \forall a \in R: \exists -a \in R \): \( a + (-a) = 0 \)
  - Kommutativität: \( a + b = b + a \)
- \( (R, \cdot) \) ist eine Halbgruppe:
  - Abgeschlossenheit: \( a \cdot b \in R \)
  - Assoziativität: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Distributivität:
  - Links: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
  - Rechts: \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)

Q: Was ist ein Ring mit Einselement:
A: Ein Ring mit Einselement ist ein Ring \( (R, +, \cdot) \) mit:
- Alle Ringeigenschaften
- Multiplikatives Einselement: \( \exists 1 \in R \setminus \{0\}: \forall a \in R: a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)

Q: Was ist ein Kommutativer Ring:
A: Ein kommutativer Ring ist ein Ring \( (R, +, \cdot) \) mit:
- Alle Ringeigenschaften
- Kommutativität der Multiplikation: \( \forall a,b \in R: a \cdot b = b \cdot a \)

Q: Was ist ein Integritätsring:
A: Ein Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit Einselement \( (R, +, \cdot) \), der zusätzlich folgende Eigenschaft erfüllt:
- Nullteilerfreiheit: \( \forall a, b \in R: a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \lor b = 0 \)

Q: Waas ist ein Körper:
A: Ein Körper ist ein Tripel \( (K, +, \cdot) \) mit:
- \( (K, +) \) ist eine abelsche Gruppe
- \( (K \setminus \{0\}, \cdot) \) ist eine abelsche Gruppe
- Distributivität: \( \forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)

Q: Warum muss man die Assoziativität im Untergruppenkriterium nicht prüfen?
A: Antwort:
Weil die Assoziativität der Verknüpfung in der Untergruppe von der Obergruppe geerbt wird.
Erklärung:
Sei \( (G, \circ) \) eine Gruppe mit assoziativer Verknüpfung:
\[\forall a, b, c \in G: \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\]
Ist \( U \subseteq G \), dann gilt diese Eigenschaft automatisch auch für alle \( a, b, c \in U \), da \( U \subseteq G \).
Fazit:
Die Assoziativität muss für Untergruppen nicht separat überprüft werden –
sie ist durch die Einbettung in die Gruppe \( G \) bereits garantiert.

Q: Was ist das Urbild einer Menge unter einem Homomorphismus?
A: Gegeben ein Homomorphismus \( \varphi: A \to B \) und eine Teilmenge \( M \subseteq B \), dann ist das Urbild definiert als:
\[\varphi^{-1}(M) := \{ a \in A \mid \varphi(a) \in M \}\]
Beispiel:
Sei \( \varphi(n) := n \bmod 3 \), dann ist:
\[\varphi^{-1}(\{0\}) = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \equiv 0 \bmod 3 \} = 3\mathbb{Z}\]

Q: Was ist der Kern eines Homomorphismus?
A: Für einen Homomorphismus \( \varphi: G \to H \) mit neutralem Element \( e_H \in H \) ist der Kern definiert als:
\[\ker(\varphi) := \{ g \in G \mid \varphi(g) = e_H \}\]
Quasi das Urbild des Neutralen Elements. Also jenes Element in G welches das Neutrale in H abbildet.
Interpretation:
Alle Elemente in \( A \), die durch \( \varphi \) auf das neutrale Element in \( B \) abgebildet werden.
Beispiel (Gruppen):
Sei \( \varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_6 \), \( \varphi(n) := n \bmod 6 \), dann:
\[\ker(\varphi) = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \equiv 0 \bmod 6 \} = 6\mathbb{Z}\]

Q: Was ist ein Verband?
A: Ein Verband ist eine algebraische Struktur \( (L, \vee, \wedge) \), in der folgende Axiome gelten:
Assoziativität:
\[a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c,\quad a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c\]
Kommutativität:
\[a \vee b = b \vee a,\quad a \wedge b = b \wedge a\]
Absorptionsgesetze:
\[a \vee (a \wedge b) = a,\quad a \wedge (a \vee b) = a\]
Anschauliches Beispiel:
\( \mathcal{P}(X) \) mit:
\[A \vee B := A \cup B,\quad A \wedge B := A \cap B\]

Q: Was ist ein distributiver Verband?
A: Ein Verband \( (L, \vee, \wedge) \) heißt distributiv, wenn zusätzlich gilt:
\[a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)\]
und/oder
\[a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)\]
Beispiel:
\( \mathcal{P}(X) \) mit \( \cup, \cap \) ist ein distributiver Verband.
Wichtig (TU Wien):
Nicht jeder Verband ist distributiv!

Q: Was ist eine boolesche Algebra?
A: Eine boolesche Algebra ist eine Struktur:
\[(B, \wedge, \vee, \neg, 0, 1)\]
mit folgenden Eigenschaften:
- \( (B, \wedge, \vee ) \) ist ein distributiver Verband
- \( 0 \) ist das kleinste, \( 1 \) das größte Element
- Für jedes \( a \in B \) gilt: \[ a \vee \neg a = 1,\quad a \wedge \neg a = 0 \]
Beispiel:
\( \mathcal{P}(X) \) mit:
\[A \vee B := A \cup B,\quad A \wedge B := A \cap B,\quad \neg A := X \setminus A\]

Q: Was ist ein Körper?
A: Ein Körper \( (K, +, \cdot) \) ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen, sodass gilt:
- \( (K, +) \) ist eine abelsche Gruppe mit Neutralem \( 0 \)
- \( (K \setminus \{0\}, \cdot) \) ist eine abelsche Gruppe mit Neutralem \( 1 \)
- Distributivgesetz: Für alle \( a, b, c \in K \): \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
Typische Beispiele:
\( \mathbb{Q},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C} \)

Q: Vorderseite:
Was kann \( K^n \) strukturell bedeuten?
A: Rückseite:
1. Vektorraum über \( K \):
Mit
- komponentenweiser Addition
- Skalarmultiplikation \( K \times K^n \to K^n \)
ist \( K^n \) ein Vektorraum mit \[\dim(K^n) = n\] Hier gibt es keine Nullteiler (Begriff nicht definiert).
2. Ring:
Mit
- komponentenweiser Addition
- komponentenweiser Multiplikation \[ (a_1,\dots,a_n)\cdot(b_1,\dots,b_n)=(a_1b_1,\dots,a_nb_n) \]
ist \( K^n \) ein Ring.
Wichtig:
In diesem Ring besitzt \( K^n \) für \( n \ge 2 \) Nullteiler, z. B. \[(1,0,\dots,0)\cdot(0,1,0,\dots,0)=0\]
Merksatz (Gittenberger):
\[\boxed{\text{Nullteiler treten nur auf, wenn } K^n \text{ als Ring betrachtet wird}}\]

Q: Wie hängt das multiplikative Inverse in einem Körper mit der Nullteilerfreiheit zusammen?
A: Rückseite:
Gegeben:
Sei \( K \) ein Körper.
Eigenschaft eines Körpers:
Jedes Element \( a \in K \setminus \{0\} \) besitzt ein multiplikatives Inverses, d. h. \[\exists\, a^{-1} \in K:\quad a \cdot a^{-1} = 1\]
Zusammenhang mit Nullteilern:
Angenommen, es gäbe \( a,b \in K \) mit \[a \neq 0,\quad b \neq 0,\quad a \cdot b = 0\] Dann folgt durch Multiplikation mit \( a^{-1} \): \[a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0\] also \[( a^{-1} \cdot a ) \cdot b = 0 \;\Rightarrow\; 1 \cdot b = 0 \;\Rightarrow\; b = 0\] Widerspruch.
Konsequenz:
Ein Körper kann keine Nullteiler besitzen.
Umkehrung (wichtig):
- Nullteilerfreiheit allein macht noch keinen Körper
- Zusätzlich notwendig: Existenz multiplikativer Inverser für alle \( a \neq 0 \)
Merksatz (prüfungsrelevant):
\[\boxed{\text{Existenz von Inversen } \Rightarrow \text{ Nullteilerfreiheit}}\]

Q: Was ist eine Gruppe \((G,\circ)\) (Definition inkl. aller Axiome)?
A: Eine Gruppe ist eine (ALgebraische Strukture) \((G,\circ)\) bestehend aus einer Menge \(G\) und einer Verknüpfung \[\circ : G \times G \to G\] mit folgenden Eigenschaften:
(G0) Abgeschlossenheit (prüfungsrelevant!) \[\forall a,b \in G:\quad a \circ b \in G\] (dies ist durch die Typisierung \(\circ: G\times G\to G\) bereits ausgedrückt)
(G1) Assoziativität \[\forall a,b,c \in G:\quad (a \circ b)\circ c = a\circ(b\circ c)\]
(G2) Neutrales Element \[\exists e \in G\;\forall a \in G:\quad a\circ e = e\circ a = a\]
(G3) Inverses Element \[\forall a \in G\;\exists a^{-1}\in G:\quad a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e\]
Abelsche Gruppe:
Zusätzlich gilt die Kommutativität: \[\forall a,b\in G:\quad a\circ b = b\circ a\]

Q: Was ist eine Untergruppe \(H \le G\)? (präzise Definition + Untergruppenkriterium)
A: Sei \((G,\circ)\) eine Gruppe. Eine Teilmenge \(H \subseteq G\) heißt Untergruppe (Notation \(H \le G\)), wenn \((H,\circ)\) selbst eine Gruppe ist, d.h.:
(U0) Abgeschlossenheit
\[\forall x,y \in H:\quad x\circ y \in H\]
(U1) Assoziativität
\[\forall x,y,z \in H:\quad (x\circ y)\circ z = x\circ (y\circ z)\] (gilt automatisch, da in \(G\) assoziativ)
(U2) Neutrales Element in \(H\)
\[\exists e_H \in H\;\forall x\in H:\quad x\circ e_H = e_H\circ x = x\]
(U3) Inverses Element in \(H\)
\[\forall x\in H\;\exists x^{-1}\in H:\quad x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=e_H\]
Untergruppenkriterium (sehr nützlich):
Eine nichtleere Teilmenge \(H \subseteq G\) ist genau dann Untergruppe, wenn \[\forall x,y \in H:\quad x\circ y^{-1} \in H\] (dann folgt automatisch \(e\in H\) und \(x^{-1}\in H\)).
Intuitive Erklärung:
\(H\) ist eine „Teilstruktur“, in der man mit derselben Verknüpfung weiterrechnen kann, ohne \(H\) zu verlassen, inklusive neutralem Element und Inversen.
Aufbauend auf:
Gruppenaxiome, Teilmengen, Quantoren, Inverses.

Q: Was ist eine linke bzw. rechte Nebenklasse einer Untergruppe \(H \le G\)?
A: Antwort:
Sei \((G,\circ)\) eine Gruppe, \(H \le G\) und \(g\in G\).
Linke Nebenklasse: \[gH := \{\, g\circ h \mid h \in H \,\}\]
Rechte Nebenklasse: \[Hg := \{\, h\circ g \mid h \in H \,\}\]
Wichtige Eigenschaften:
- \(\forall g\in G:\ |gH| = |H|\) (bei endlichem \(H\)).
- Zwei linke Nebenklassen sind entweder identisch oder disjunkt.
- Die linken Nebenklassen partitionieren \(G\) (analog rechts).
Prüfungsfalle:
Nebenklassen sind im Allgemeinen keine Untergruppen (außer \(H\) selbst bzw. wenn \(g\in H\)).
Intuitive Erklärung:
Man „verschiebt“ \(H\) durch Multiplikation mit \(g\). So entstehen gleich große „Kopien“ von \(H\), die \(G\) in Blöcke zerlegen.

Q: Wann heißt eine Untergruppe \(N \le G\) ein Normalteiler (Normaluntergruppe)? Nenne auch eine wichtige äquivalente Charakterisierung.
A: Sei \((G,\circ)\) eine Gruppe und \(N \le G\). \(N\) heißt Normalteiler (Notation \(N \trianglelefteq G\)), wenn \[\forall g \in G:\quad gN = Ng\]
Äquivalente (prüfungsrelevante) Charakterisierung:
\[\forall g\in G:\quad gNg^{-1} = N\] wobei \[gNg^{-1} := \{\, g\circ n\circ g^{-1}\mid n\in N\,\}\]
Intuitive Erklärung:
\(N\) ist „symmetrisch“ in \(G\): Links- und Rechtsverschiebung liefern dieselben Nebenklassen. Dadurch ist Quotientenbildung (Faktorgruppe) möglich.

Q: Was besagt der Satz von Lagrange für endliche Gruppen?
A: Sei \(G\) eine endliche Gruppe und \(H \le G\). Dann gilt: \[|G| = |H|\cdot [G:H]\] wobei \([G:H]\) die Anzahl der (linken) Nebenklassen von \(H\) in \(G\) bezeichnet.
Insbesondere: \[|H| \mid |G|\]
Intuitive Erklärung:
\(G\) zerfällt in disjunkte Nebenklassen, und jede Nebenklasse hat dieselbe Mächtigkeit wie \(H\). Daher ist \(|G|\) ein Vielfaches von \(|H|\).
Prüfungshinweis:
Die Begründung „\(|H|\) teilt \(|G|\)“ läuft fast immer über: Partition in Nebenklassen gleicher Größe.
Aufbauend auf:
Nebenklassen, Partitionen, Mächtigkeiten.

Q: Was ist die Ordnung eines Elements \(g \in G\) und welche Lagrange-Folge ist besonders prüfungsrelevant?
A: Antwort:
Sei \(G\) eine endliche Gruppe und \(g \in G\). Die von \(g\) erzeugte Untergruppe ist \[\langle g\rangle := \{\, g^k \mid k \in \mathbb{Z} \,\}\] Die Ordnung von \(g\) ist definiert als \[\operatorname{ord}(g) := |\langle g\rangle|\] (für endliche Gruppen: die kleinste Zahl \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\) mit \(g^n=e\)).
Folge aus Lagrange:
\[\operatorname{ord}(g) \mid |G|\] und damit insbesondere: \[g^{|G|} = e\]
Intuitive Erklärung:
Das wiederholte Anwenden von \(g\) „läuft“ in einer endlichen Gruppe zyklisch und kehrt nach endlich vielen Schritten zu \(e\) zurück. Die Zykluslänge teilt \(|G|\).