Title: ADM26 / Lineare Algebra

Q: Was ist ein Vektorraum?
A: Ein Vektorraum ist eine Struktur \( (V, +, \cdot) \) mit:
1. Vektoraddition: \( (V, +) \) ist eine abelsche Gruppe
2. Skalarmultiplikation: \( \cdot: K \times V \to V \) erfüllt:
- \( a \cdot (\vec v + \vec w) = a \cdot \vec v + a \cdot \vec w \)
- \( (a + b) \cdot \vec v = a \cdot \vec v + b \cdot \vec v \)
- \( (a b) \cdot \vec v = a \cdot (b \cdot \vec v) \)
- \( 1_K \cdot \vec v = \vec v \)
Voraussetzung:
Die Skalare stammen aus einem Körper \( K \)

Q: Was sind die Axiome der Vektoraddition?
A: Die Vektoraddition \( + : V \times V \to V \) im Vektorraum \( V \) muss folgende Eigenschaften erfüllen:
- Assoziativität: \( \vec u + (\vec v + \vec w) = (\vec u + \vec v) + \vec w \)
- Kommutativität: \( \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \)
- Existenz des Nullvektors: \( \vec v + \vec 0 = \vec v \)
- Existenz inverser Elemente: \( \vec v + (-\vec v) = \vec 0 \)

Q: Was ist ein Unterraum eines Vektorraums?
A: Eine Teilmenge \( U \subseteq V \) heißt Unterraum, wenn gilt:
1. \( \vec 0 \in U \)
2. Für alle \( \vec u, \vec v \in U \): \( \vec u + \vec v \in U \)
3. Für alle \( a \in K \), \( \vec u \in U \): \( a \cdot \vec u \in U \)
Merksatz: Unterräume sind abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Q: Wie hängen Körper, Vektorraum, Vektor und Unterraum zusammen?
A: Begriff | Definition / Rolle
Körper \( K \) | Skalarbereich (z. B. \( \mathbb{R}, \mathbb{Q} \))
Vektorraum \( V \) | Struktur mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation
Vektor \( \vec v \) | Element von \( V \)
Unterraum \( U \subseteq V \) | Teilmenge, die selbst Vektorraum ist

Q: Was besagt das Austauschlemma (Steinitz)?
A: Sei \( B = \{\vec b_1,\dots,\vec b_n\} \) eine Basis von \( V \) und
\( X = \{\vec x_1,\dots,\vec x_m\} \subseteq V \) linear unabhängig mit \( m \le n \). Dann:
- Man kann aus \( B \) genau \( m \) Vektoren entfernen und durch die \( \vec x_i \) ersetzen
- Ergebnis ist wieder eine Basis von \( V \)
Einfach erklärt:
Unabhängige Vektoren lassen sich in eine Basis „einschieben“.

Q: Was ist ein Nebenraum (Komplementärraum) zu einem Unterraum \( U \subseteq V \)?
A: Ein Unterraum \( W \subseteq V \) heißt Nebenraum zu \( U \), wenn gilt:
\[V = U \oplus W \quad\text{d.h.}\quad U + W = V,\quad U \cap W = \{\vec 0\}\]
Jeder Vektor in \( V \) lässt sich eindeutig als \( \vec u + \vec w \) mit \( \vec u \in U,\ \vec w \in W \) schreiben.

Q: Frage:
Was ist der Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit, linearer Hülle, Dimension der linearen Hülle und dem Rang (Spalten-/Zeilenrang) einer Matrix?
A: Antwort:
1. Lineare Hülle:
Sei \( M \subseteq K^n \) eine Menge von Vektoren.
Die lineare Hülle von \( M \) ist \[\langle M \rangle := \left\{ \sum_{i=1}^{k} \lambda_i v_i \;\middle|\; v_i \in M,\ \lambda_i \in K,\ k \in \mathbb{N} \right\}\] Sie ist der kleinste Untervektorraum, der \( M \) enthält.
2. Lineare Unabhängigkeit:
Eine Menge \( M = \{v_1,\dots,v_k\} \) ist linear unabhängig, genau dann wenn \[\sum_{i=1}^{k} \lambda_i v_i = 0 \;\Rightarrow\; \lambda_1=\dots=\lambda_k=0\] Linear unabhängige Vektoren liefern keine redundanten Richtungen im Raum.
3. Dimension der linearen Hülle:
Die Dimension von \( \langle M \rangle \) ist \[\dim(\langle M \rangle) = \text{Anzahl der Vektoren in einer Basis von } \langle M \rangle\] Äquivalent:
- Maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in \( M \)
- Anzahl der Basisvektoren der linearen Hülle
Insbesondere gilt:
- Ist \( M \) linear unabhängig, dann \( |M| = \dim(\langle M \rangle) \)
- Ist \( M \) linear abhängig, dann \( |M| > \dim(\langle M \rangle) \)
4. Zusammenhang mit dem Rang einer Matrix:
Sei \( A \in K^{m \times n} \).
Spaltenrang:
\[\rang(A) = \dim(\langle \text{Spalten von } A \rangle)\] = Anzahl linear unabhängiger Spalten.
Zeilenrang:
\[\rang(A) = \dim(\langle \text{Zeilen von } A \rangle)\] = Anzahl linear unabhängiger Zeilen.
Zentrales Resultat:
\[\boxed{\text{Spaltenrang} = \text{Zeilenrang}}\] Der Rang misst also die Dimension des durch die Zeilen oder Spalten erzeugten Unterraums.
Merksatz (prüfungsrelevant):
Der Rang einer Matrix ist die Dimension der linearen Hülle ihrer Spalten (bzw. Zeilen) und entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten (bzw. Zeilen).

Q: Warum wird \( K \times K \) (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) für einen Körper \( K \) niemals selbst ein Körper?
A: Antwort:
Betrachte \( K \times K = \{(a,b) \mid a,b \in K\} \) mit \[(a,b) + (c,d) := (a+c,b+d), \quad (a,b)\cdot(c,d):=(ac,bd)\]
Entscheidendes Problem: Nullteiler
Es gilt: \[(1,0)\cdot(0,1) = (0,0)\] obwohl \[(1,0)\neq(0,0), \quad (0,1)\neq(0,0)\] Also besitzt \( K \times K \) Nullteiler.
Warum ist das fatal?
Ein Körper darf keine Nullteiler besitzen, denn:
- In einem Körper hat jedes von \(0\) verschiedene Element ein multiplikatives Inverses
- Nullteiler können kein Inverses besitzen
Fazit:
\[\boxed{K \times K \text{ ist nie ein Körper}}\] (unabhängig davon, welcher Körper \( K \) ist)

Q: Was ist der Zusammenhang zwischen Kern, Rang und Dimension einer linearen Abbildung? (Dimensionssatz)
A: Rückseite:
Gegeben:
Eine lineare Abbildung \[f : V \to W\] zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen.
Kern (Nullraum):
\[\ker(f) := \{ v \in V \mid f(v)=0 \}\]
Bild:
\[\operatorname{Im}(f) := \{ f(v) \mid v \in V \}\]
Rang:
\[\rang(f) := \dim(\operatorname{Im}(f))\]
Dimensionssatz (Rang-Nullitätssatz):
\[\boxed{\dim(V) = \dim(\ker(f)) + \rang(f)}\]
Bedeutung:
- Kern misst die „verlorenen Freiheitsgrade“
- Rang misst die tatsächlich erreichte Dimension im Zielraum
Matrixform:
Für eine Matrix \( A \in K^{m \times n} \): \[\dim(\ker(A)) + \rang(A) = n\]

Q: Was sind Eigenwerte einer Matrix und Eigenvektoren zu einem Eigenwert?
A: Rückseite:
Gegeben:
Eine Matrix \( A \in K^{n \times n} \).
Eigenwert:
Ein Skalar \( \lambda \in K \) heißt Eigenwert von \( A \), wenn es einen Vektor \[v \neq 0\] gibt mit \[A v = \lambda v\]
Eigenvektor:
Ein solcher Vektor \( v \neq 0 \) heißt Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda \).
Äquivalente Formulierung:
\[(A - \lambda I)v = 0\] Also: \[\ker(A - \lambda I) \neq \{0\}\]
Charakteristisches Polynom:
\[\det(A - \lambda I) = 0\] liefert genau die Eigenwerte.
Merksatz:
Eigenvektoren ändern unter der Abbildung durch \( A \) nur ihre Länge, nicht ihre Richtung.

Q: Vorderseite:
Wie funktioniert das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?
A: Rückseite:
Ziel:
Umformen eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform (oder reduzierte Zeilenstufenform).
Grundidee:
Man führt elementare Zeilenumformungen auf der (erweiterten) Koeffizientenmatrix aus.
Erlaubte Zeilenoperationen:
- Vertauschen zweier Zeilen
- Multiplikation einer Zeile mit \( \alpha \neq 0 \)
- Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
Zeilenstufenform:
- Alle Nullzeilen stehen unten
- Jede führende Eins steht rechts von der führenden Eins der Zeile darüber
Ergebnisse des Verfahrens:
- Lösbarkeit des Systems
- Anzahl freier Variablen
- Rang der Matrix
- Basis von Kern und Bild
Merksatz (Gittenberger):
Gauß ist das zentrale Werkzeug zur Bestimmung von Rang, Kern und Lösungsmenge linearer Systeme.

Q: Was ist der Kern einer Matrix anschaulich?
A: Für \( A \in K^{m \times n} \): \[\ker(A) = \{x \in K^n \mid Ax = 0\}\]
Interpretation:
Der Kern ist der Lösungsraum des homogenen LGS \( Ax=0 \).
Struktur:
- Untervektorraum von \( K^n \)
- Dimension = Anzahl freier Variablen
Merksatz:
Kern = alle Richtungen, die „zusammengedrückt“ werden.

Q: Was ist eine freie Variable beim Gauß-Verfahren und wie hängen n, r und die Dimension des Kerns zusammen?
A: Ausgangssituation:
Sei \[A \in K^{m \times n}\] eine Matrix, die ein lineares Gleichungssystem \[Ax = 0\] beschreibt.
Bedeutung von \( n \):
\[n = \text{Anzahl der Variablen}\] (d. h. Anzahl der Spalten von \( A \)).
Rang \( r \):
\[r := \rang(A)\] ist die Anzahl der Pivotspalten nach dem Gauß-Verfahren, also die Anzahl der linear unabhängigen Spalten.
Was ist eine freie Variable?
Eine Variable heißt frei, wenn ihre Spalte keine Pivotspalte ist.
Anschaulich:
- Pivotvariablen werden durch das LGS fest bestimmt
- Freie Variablen können beliebige Werte aus \( K \) annehmen
Anzahl freier Variablen:
\[\text{Anzahl freier Variablen} = n - r\]
Zusammenhang mit dem Kern:
Der Kern ist der Lösungsraum von \( Ax=0 \).
Jede freie Variable liefert genau einen Freiheitsgrad im Kern.
Daher gilt der Dimensionssatz für Matrizen: \[\boxed{\dim(\ker(A)) = n - r}\]
Gauß-Interpretation (entscheidend für Prüfungen):
- Pivotspalten → bestimmen den Rang \( r \)
- Nicht-Pivotspalten → entsprechen freien Variablen
- Jede freie Variable erzeugt einen Basisvektor des Kerns
Merksatz (Gittenberger-Stil):
Der Kern besteht genau aus den Freiheitsgraden, die nach Gauß übrig bleiben.

Q: Beispiel Was ist eine Pivotspalte, was ist keine Pivotspalte, und wie erkennt man freie Variablen an einer konkreten Matrix?
Beispielmatrix:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in K^{3 \times 4}\] Diese Matrix sei bereits in Zeilenstufenform.
A: Definition: Pivotspalte
Eine Pivotspalte ist eine Spalte, in der sich ein führender Eintrag (Pivot) einer Zeile befindet.
Ein Pivot ist das erste von Null verschiedene Element einer Nicht-Null-Zeile.
Pivotspalten im Beispiel:
- Spalte 1 (Pivot in Zeile 1)
- Spalte 3 (Pivot in Zeile 2)
Nicht-Pivotspalten:
- Spalte 2
- Spalte 4
Bedeutung für Variablen:
- Variablen zu Pivotspalten → Pivotvariablen (abhängig)
- Variablen zu Nicht-Pivotspalten → freie Variablen
Rang und Dimension:
\[\rang(A) = 2 \quad\Rightarrow\quad n = 4 \quad\Rightarrow\quad \dim(\ker(A)) = 4 - 2 = 2\]
Anschauliche Interpretation:
Die freien Variablen können beliebig gewählt werden.
Die Pivotvariablen passen sich eindeutig daran an.

Q: Was bedeutet ein Eigenwert strukturell?
A: Rückseite:
\( \lambda \) ist Eigenwert von \( A \), genau dann wenn \[\ker(A-\lambda I)\neq\{0\}\]
Äquivalent:
\[\det(A-\lambda I)=0\] Also: \[A-\lambda I \text{ ist nicht invertierbar}\]
Interpretation:
Für diese Skalierung „verliert“ die Abbildung Dimension.
Merksatz:
Eigenwerte sind genau die Stellen, wo Invertierbarkeit scheitert.

Q: Was ist der Unterschied zwischen einer linearen Abbildung und ihrer Matrix – anschaulich erklärt?
A: Die lineare Abbildung:
Eine lineare Abbildung \[f : V \to W\] beschreibt, was mit Vektoren passiert (strecken, drehen, projizieren, …).
Sie ist ein geometrisches/strukturelles Objekt.
Die Matrix:
Eine Matrix ist nur eine Rechenanleitung, die sagt, wie man diese Abbildung in Koordinaten ausrechnet.
Anschauliches Bild:
- Abbildung \( f \) = Bewegung im Raum
- Matrix \( A \) = Zahlenbeschreibung dieser Bewegung
Warum hängt die Matrix von der Basis ab?
Koordinaten hängen davon ab, wie wir messen (welche Basis wir benutzen).
Wechselst du die Basis:
- ändert sich die Matrix
- aber die Abbildung bleibt dieselbe
Mini-Beispiel (nur Idee):
Die Abbildung „Verdopple jeden Vektor“ ist immer dieselbe.
In jeder Basis sieht die Matrix anders aus – aber sie beschreibt dieselbe Wirkung.
Was bleibt immer gleich?
Eigenschaften, die zur Abbildung selbst gehören:
- Rang (wie viele Richtungen erhalten bleiben)
- Kern-Dimension (was auf 0 fällt)
- Eigenwerte (spezielle Streckungen)
Diese sind basisunabhängig.
Sehr wichtiger Merksatz (Gittenberger-typisch):
\[\boxed{\text{Die Abbildung ist das Objekt, die Matrix nur ihre Koordinatenbeschreibung}}\]

Q: Was ist der Unterschied zwischen linearer Abbildung und Matrix? Erkläre das an einem konkreten Zahlenbeispiel.
A: Grundidee (intuitiv):
Eine lineare Abbildung sagt, was mit Vektoren passiert.
Eine Matrix sagt nur, wie wir diese Abbildung in Zahlen aufschreiben – und das hängt davon ab, wie wir messen bzw. zählen (also von der Basis).
1. Die Abbildung selbst:
Betrachte: \[f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad f(x,y) = (2x,2y)\] Egal welchen Vektor du nimmst: Er wird immer doppelt so lang.
Das ist die reale Wirkung im Raum.
Diese Wirkung ändert sich nie.
2. Warum braucht man eine Basis?
Um Vektoren mit Zahlen zu beschreiben, brauchen wir eine Basis.
Die Basis ist ein Koordinatensystem.
3. Standardbasis:
\[e_1=(1,0),\quad e_2=(0,1)\] In dieser Basis sieht man: \[f(e_1)=(2,0),\quad f(e_2)=(0,2)\] → daraus entsteht die Matrix \[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]
4. Andere Basis, gleiche Abbildung:
Nimm eine andere Basis: \[b_1=(1,1),\quad b_2=(1,-1)\] Auch hier: \[f(b_1)=2b_1,\quad f(b_2)=2b_2\] Die Abbildung ist exakt dieselbe, nur die Beschreibung läuft über andere Basisvektoren.
5. Was ist also basisabhängig?
- die Zahlen in der Matrix
- die Koordinaten von Vektoren
6. Was ist basisunabhängig?
- die geometrische Wirkung (Verdopplung)
- Rang
- Kern
- Eigenwerte
Merksatz (sehr wichtig):
Die Abbildung sagt, was passiert.
Die Matrix sagt nur, wie wir es aufschreiben.

Q: Was bedeutet es, wenn die Spalten einer Matrix linear abhängig sind?
A: Definition:
Die Spalten einer Matrix \( A \in K^{m \times n} \) sind linear abhängig, wenn es Koeffizienten \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \in K \), nicht alle \(0\), gibt mit \[\lambda_1 A_1 + \dots + \lambda_n A_n = 0\]
Folgen:
- Der Rang erfüllt \( \operatorname{rang}(A) < n \)
- Das homogene LGS \( A x = 0 \) hat nichttriviale Lösungen
- Der Kern ist nicht trivial: \( \ker(A) \neq \{0\} \)
Abbildungssicht:

Q: Was sagt ein Eigenwert einer Matrix aus?
A: Definition:
Ein Skalar \( \lambda \in K \) heißt Eigenwert von \( A \), wenn es einen Vektor \( v \neq 0 \) gibt mit \[A v = \lambda v\]
Interpretation:
Der Eigenwert beschreibt,
- wie stark die Eigenrichtung gestreckt wird (\( |\lambda| > 1 \))
- wie stark sie gestaucht wird (\( 0 < |\lambda| < 1 \))
- ob sie umgedreht wird (\( \lambda < 0 \))
Wichtig:
Eigenwerte sind basisunabhängige Invarianten der linearen Abbildung.

Q: Welche Axiome definieren einen Vektorraum über einem Körper \( K \)?
A: Rückseite:
Sei \( V \) eine Menge, \( K \) ein Körper.
\( V \) heißt Vektorraum über \( K \), wenn es Abbildungen
- \( + : V \times V \to V \)
- \( \cdot : K \times V \to V \)
gibt, sodass für alle \( x,y,z \in V \) und \( \lambda,\mu \in K \) gilt:
(V1) Distributivität über Vektoraddition:
\[\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y\]
(V2) Distributivität über Skalaraddition:
\[(\lambda+\mu)x = \lambda x + \mu x\]
(V3) Assoziativität der Skalarmultiplikation:
\[(\lambda\mu)x = \lambda(\mu x)\]
(V4) Neutrales Element der Skalarmultiplikation:
\[1 \cdot x = x\]
(V5) Existenz des Nullvektors:
\[\exists\, 0 \in V : x+0 = x\]
Prüfungshinweis (TU Wien):
Alle Axiome müssen exakt erfüllt sein –
fehlt auch nur eines (z. B. \(1 \cdot x = x\)), liegt kein Vektorraum vor.

Q: Wann ist eine Teilmenge U⊆V ein Unterraum?
A: Eine Teilmenge U⊆V ist ein Unterraum, wenn gilt:
Unterraumkriterium:
- \( 0 \in U \)
- \( u,v \in U \Rightarrow u+v \in U \)
- \( u \in U, \lambda \in K \Rightarrow \lambda u \in U \)
Merksatz (prüfungsrelevant):
Nichtleer + abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation genügt.
Typischer Fehler:
Mengen ohne Nullvektor sind keine Unterräume.

Q: Was ist ein Nebenraum (affiner Unterraum)?
A: Rückseite:
Sei \( U \) ein Unterraum von \( V \) und \( v \in V \).
Der Nebenraum zu \( U \) durch \( v \) ist definiert als \[N = v + U = \{\, v + u \mid u \in U \,\}\]
Eigenschaften:
- Kein Unterraum (außer \( v \in U \))
- Enthält im Allgemeinen nicht den Nullvektor
- Alle Nebenräume zu demselben Unterraum \( U \) sind zueinander parallel
Anschaulich:
Eine Gerade oder Ebene, die nicht durch den Ursprung geht.

Q: Was ist eine Linearkombination von Vektoren?
A: Seien \( v_1,\dots,v_k \in V\) (Vektorraum) über dem Körper K.
Ein Vektor \( v \in V \) heißt Linearkombination dieser Vektoren, wenn \[v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_k v_k\] mit \( \lambda_1,\dots,\lambda_k \in K \). (Koeefizienten der Lineakombination)
Bedeutung:
- Grundlage für Erzeugendensysteme
- Zentral für Spann, Rang und Basis
Prüfungshinweis:
Fast jede Unterraumfrage lässt sich auf Linearkombinationen zurückführen.

Q: Was ist die lineare Hülle (der Spann) einer Menge von Vektoren?
A: Für eine Menge \( M \subseteq V \) ist die lineare Hülle definiert als \[\operatorname{span}[M] = \left\{ \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i \;\middle|\; v_i \in M,\ \lambda_i \in K,\ k \in \mathbb{N} \right\}\]
Eigenschaften:
- Kleinster Unterraum von \( V \), der \( M \) enthält
- Besteht aus allen Linearkombinationen von Vektoren aus \( M \)
Merksatz:
Der Spann ist alles, was man aus \( M \) mit Linearkombinationen erzeugen kann.

Q: Wann heißen Vektoren linear abhängig?
A: Die Vektoren \( v_1,\dots,v_k \in V \) heißen linear abhängig, wenn es Skalare \( \lambda_1,\dots,\lambda_k \in K \), nicht alle gleich Null, gibt mit \[\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_k v_k = 0\]
Äquivalente Charakterisierung:
Mindestens ein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
Wichtige Konsequenz:
- Die Vektoren sind redundant
- Sie können keine Basis bilden
Prüfungshinweis:
Schon ein einziger von den anderen abhängiger Vektor genügt.

Q: Wann heißen Vektoren linear unabhängig?
A: Rückseite:
Die Vektoren \( v_1,\dots,v_k \in V \) heißen linear unabhängig, wenn aus \[\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_k v_k = 0\] folgt: \[\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k = 0\]
Interpretation:
Keiner der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
Wichtige Konsequenz:
- Jeder Vektor trägt neue Information
- Lineare Unabhängigkeit ist Voraussetzung für eine Basis
Merksatz (Gittenberger-Stil):
Die Nullkombination ist die einzige Linearkombination mit Ergebnis \( 0 \).

Q: Was besagt das Austauschlemma (Steinitz) und warum ist es wichtig?
A: Rückseite:
Sei \( V \) ein Vektorraum.
Seien
- \( B = \{ b_1,\dots,b_n \} \) eine Basis von \( V \)
- \( L = \{ v_1,\dots,v_k \} \) eine linear unabhängige Menge in \( V \)
mit \( k \le n \).
Aussage (formal):
Es gibt Indizes \( i_1,\dots,i_k \), sodass \[(B \setminus \{ b_{i_1},\dots,b_{i_k} \}) \cup \{ v_1,\dots,v_k \}\] wieder eine Basis von \( V \) ist.
Anschauliche Bedeutung:
Jeder linear unabhängige Vektor kann einen Basisvektor ersetzen,
ohne die Erzeugung des Raumes zu verlieren.
Zentrale Konsequenzen:
- Alle Basen eines Vektorraums haben gleich viele Elemente
- Jede linear unabhängige Menge lässt sich zu einer Basis erweitern
- Die Dimension eines Vektorraums ist wohldefiniert
Merksatz (prüfungsnah):
Unabhängige Vektoren sind nie „zu viele“ – sie passen immer in eine Basis.

Q: Wie kann man das Austauschlemma einfach und anschaulich verstehen?
A: Kernaussage in einfachen Worten:
In einer Basis kann man jeden Basisvektor durch einen neuen,
linear unabhängigen Vektor ersetzen –
und erhält trotzdem wieder eine Basis.
Anschauliches Bild:
Eine Basis ist wie ein stabiles Gerüst.
Solange der neue Vektor nicht von den anderen abhängt,
kann er einen alten Stab ersetzen, ohne dass das Gerüst einstürzt.
Wichtig dabei:
- Der neue Vektor muss linear unabhängig sein
- Man ersetzt genau so viele Basisvektoren, wie neue hinzukommen
- Die Anzahl der Basisvektoren bleibt gleich
Merksatz (für die Prüfung):
Unabhängige Vektoren „passen immer in eine Basis“ –
man tauscht sie einfach ein.

Q: Was ist ein Eigenvektor / Eigenwert?
A: 👉 Eigenvektoren sind spezielle Richtungen, die durch die Abbildung nicht ihre Richtung ändern.
- Stell dir vor:
- du hast viele Pfeile im Raum
- du wendest 𝑓 an
- fast alle Pfeile ändern Richtung
- aber manche zeigen danach noch in dieselbe Richtung
 Diese besonderen Pfeile heißen Eigenvektoren.
Ein Vekor  \(v \neq 0 \) heißt Eigenvektor  von \(f\) zum Eigenwert \(\lambda\), wenn gilt:
\(f(v) = \lambda v\)
Bedeutung:
- v wird nicht verdreht
- nur gestreckt/gestaucht oder auf 0 geschickt
Beispiele:
\(\lambda = 2\) Vektor wird doppelt so lang
\(\lambda = -1\) Vektor wird gespiegelt
\(\lambda = 0\) Vektor wird auf 0 Vektor projiziert

Q: Wann heißt eine Abbildung \(f : V \to W\) linear?
A: Seien \(V,W\) Vektorräume über demselben Körper \(K\).
\(f : V \to W\) heißt linear, wenn für alle \(x,y \in V\) und \(\lambda \in K\) gilt: \[\begin{aligned} \text{(Additivität)} &\quad f(x+y) = f(x) + f(y) \\ \text{(Homogenität)} &\quad f(\lambda x) = \lambda f(x) \end{aligned}\]
Intuitive Erklärung:
Addition und Skalierung werden strukturtreu abgebildet.

Q: Warum ist die Verkettung zweier linearer Abbildungen wieder linear?
A: Seien \(f,g : V \to V\) linear und definiert: \[(g \circ f)(x) := g(f(x))\]
Additivität: \[\begin{aligned} (g \circ f)(x+y) &= g(f(x+y)) \\ &= g(f(x)+f(y)) \\ &= g(f(x)) + g(f(y)) \end{aligned}\]
Homogenität: \[\begin{aligned} (g \circ f)(\lambda x) &= g(f(\lambda x)) \\ &= g(\lambda f(x)) \\ &= \lambda g(f(x)) \end{aligned}\]
Damit ist \(g \circ f\) linear. \[\boxed{\square}\]
Intuitive Erklärung:
Zwei strukturtreue Abbildungen hintereinander bleiben strukturtreu.
Prüfungshinweis:
Nicht „offensichtlich“, sondern explizit nachrechnen.