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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 2, Beispiel 8}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 27.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
25.10.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
\begin{gather*}
(1+x^3)\cdot y' - x^2 \cdot y = 0, \qquad y(1) = 2
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Trennbare Differentialgleichungen}
Ergibt sich (eventuell nach Umformung) eine Differentialgleichung
in der Form
\begin{gather*}
    y' = f(x) \cdot g(x),
\end{gather*}
welche stetige, auf den Intervallen $I \subseteq \mathbb{R} (x,x_0
\in I)$ und $J \subseteq \mathbb{R} (y,y_0 \in J)$ stetig
definierte Funktionen $f$ und $g$ besitzt, sind zwei Fälle zu
unterscheiden:
\begin{enumerate}
    \item $g(y) \neq 0$ - durch \textbf{Trennung der Variablen
    (Veränderlichen)} ergibt sich eine exakte
    Differentialgleichung in der Form:
    \begin{gather*}
        f(x) - \frac{1}{g(y)}\cdot y' = 0
    \end{gather*}
    und der Stammfunktion ($x,x_0 \in I$, $y,y_0 \in J$):
    \begin{gather*}
        U(x,y) = \int_{x_0}^{x} f(\xi) \, d\xi - \int_{y_0}^{y} \frac{d\eta}{g(\eta)}
    \end{gather*}
    \item $g(\eta) = 0, \eta \in J$ - es gilt: $y(x) = \eta$, $x
    \in I$ ist eine konstante Lösung.
\end{enumerate}
Für trennbare Differentialgleichungen ($x_0 \in I$, $y_0 \in J$)
besagt der \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz}, dass das
Anfangswertproblem
\begin{gather*}
    y'= f(x) \cdot g(x), \qquad y(x_0) = y_0,
\end{gather*}
lokal eindeutig lösbar ist wenn gilt:
\begin{enumerate}
    \item $g(y_0) \neq 0$, oder
    \item $|g(y)| < L \cdot |y-y0|$ in einer Umgebung von $y_0$,
    $L > 0$ konstant (\texttt{Lipschitz}).
\end{enumerate}
Das \textbf{Lösungsverfahren} für $y' = f(x) \cdot g(x)$ lautet
allgemein:
\begin{enumerate}
    \item Sämtliche Nullstellen von $\eta \in J$ bestimmen - $y(x)
    = \eta$ ist jeweils eine partikuläre Lösung
    \item Trennung der Variablen ('y, dy nach links; x, dx nach
    rechts')
    \begin{gather*}
        \frac{1}{g(y)} \, dy = f(x) \, dx
    \end{gather*}
    \item Unbestimmte Integration beider Seiten:
    \begin{gather*}
        G(y) \, := \, \int \frac{dy}{g(y)}, \qquad F(x) \, := \, \int
        f(x) \, dx.
    \end{gather*}
    Allgemeine implizite Lösung lautet:
    \begin{gather*}
        G(y) - F(x) = x, \qquad c \in \mathbb{R}.
    \end{gather*}
    \item Anfangswertproblemlösung: Wenn $g(y_0) \neq 0, c_0 :=
    G(y_0) - F(x_0)$. Soferne möglich $ G(y) - F(x) = c-0$ nach
    $y$ auflösen.

    Wenn $g(y_0) = 0$, dann ist $y(x) = y_0$ die Lösung.
\end{enumerate}

\section{Theoretische Grundlagen: Integralrechnung - Substitutionsmethode}
Aus der Kettenregel $\frac{d}{dx} F(g)x = F'(g(x))g'(x)$ folgt
($F'(x) = f(x)$):
\begin{gather*}
    \int f(g(x))g'(x) \, dx = F(g(x)) + c
\end{gather*}
Es existieren zwei Substitutionsmethoden:
\begin{itemize}
    \item Substitution Version 1 - Berechnung von $\int f(g(x))g'(x) \, dx$
    \begin{enumerate}
        \item Substitution $g(x) = t$ und $g'(x) \, dx = \, dt$
        \item Berechnung der Stammfunktion $\int f(t) \, dt = F(t)
        + c$
        \item Rücksubstitution: $t=g(x), F(t) = F(g(x))$
        \item Insgesamt:
        \begin{gather*}
            \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(t) \, dt = F(t) + c =
            F(g(x)) + c
    \end{gather*}
    \end{enumerate}
    \item Substitution Version 2 - Berechnung von $\int f(x) \,
    dx$
    \begin{enumerate}
        \item Substitution $x=g(t)$, $dx = g'(t) \, dt$ mit einer \emph{geeigneten,
        umkehrbaren} Funktion $g$
        \item Berechnung von $\int f(g(t))g'(t) \, dt = H(t) + c$
        \item Auflösung $x=g(t)$ nach $t$, d.h. $t=h(x)$ ist dann
        \begin{gather*}
            \int f(x) \, dx = H(h(x)) + c
        \end{gather*}
    \end{enumerate}
\end{itemize}


\section{Lösung des Beispiels}
\subsection{Umformung für Trennung der Variablen}
\begin{gather*}
(1+x^3)\cdot y' - x^2 \cdot y = 0, \qquad y(1) = 2 \\
\frac{y'}{y} = \frac{x^2}{1+x^3}
\end{gather*}

\subsection{Unbestimmte Integration beider Seiten}
Integration der linken Seite:
\begin{gather*}
    \int \frac{dy}{y} = \ln|y|
\end{gather*}
Integration der rechten Seite:
\begin{gather*}
    \int \frac{x^2}{1+x^3} \, dx = \\
    1 + x^3 = u \qquad \Rightarrow \qquad 3x^2 = \frac{du}{dx} \\
    \int \frac{x^2}{u} \cdot \frac{1}{3x^2} \, dx = \frac{1}{3}
    \cdot \ln |u| = \frac{1}{3} \cdot \ln |1+x^3| \\
    \ln |y| = \ln |1+x^3| + \check{C} \qquad |
    \text{Entlogarithmieren}\\
    \mathbf{y(x) = C \cdot \sqrt[3]{1 + x^3}} \qquad
    \text{Allgemeine Lösung}
\end{gather*}

\subsection{Lösung des Anfangswertproblems $y(1) = 2$}
\begin{gather*}
    y(1) = 2 \qquad \Rightarrow \qquad 2 = C \cdot \sqrt[3]{1 +
    1^3}\qquad \Rightarrow \qquad C = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} \qquad \Rightarrow
    \qquad\\
    \mathbf{y(x) = 2\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{x^3}{2}}}
\end{gather*}

\end{document}
