\documentclass[a4paper]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{listings}
\usepackage{color} % f{\"u}r den grauen Hintergrund

%\usepackage{endnotes}

\setlength{\parindent}{0 em}

\definecolor{Gray}{gray}{0.9}

\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny,
stepnumber=1, numbersep=5pt}

\DeclareGraphicsExtensions{.eps}

%\DeclareGraphicsRule{.gif}{eps}{}{`convert #1 'eps:-'}

  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 9, Beispiel 60}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 9, 12.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
13.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man zeige unter Verwendung von Bsp. 59, dass zwischen den
Funktionswerten $y_j , j =0,\dots,N-1$ und den
Spektralkoeffzienten $c_k, k = 0,\dots,N-1$ folgende Beziehung
gilt, die sogenannte Parsevalsche-Gleichung:
\begin{gather*}
    \sum_{k=0}^{N-1} |c_k|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} |y_i|^2
\end{gather*}

\section{Lösung des Beispiels}
$y_k$ ist komplex und der Betrag liefert die Länge des Vektors $a
+ b\cdot i$ mit $\sqrt{a^2 + b^2}$. $a-b\cdot i$ ist die kojugiert
Komplexe von $a+b\cdot i$.

\begin{gather*}
    \frac{1}{N} \cdot \sum |y_k|^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum y_k
    \cdot \overline{y_k}^T
\end{gather*}

Einsetzen von $y=F_n \cdot c$:
\begin{gather*}
    \frac{1}{N} \cdot (F_n \cdot c)\cdot (\overline{F_n \cdot
    c})^T  = \frac{1}{N} \cdot c \cdot \underbrace{F_n \cdot \overline{F_n}^T}_{N \cdot
    E_n}\cdot \overline{c}^T
    = c \cdot \overline{c}^T =     |c|^2
\end{gather*}



\end{document}
