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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 52}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
08.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die (reelle und komplexe) Fourier-Reihe folgender
$2\pi$-periodischer Funktion ''f(t)'':
\begin{gather*}
    f(t)=t, \qquad 0 \leq t < 2\pi, \qquad 2\pi-\text{periodisch
    fortgesetzt}
\end{gather*}
Anmerkung: Selbstverständlich ist wahlweise die reelle oder die
komplexe Fourier-Reihe zu bestimmen, wodurch dann mit den
Beziehungen $a_n = c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})$ die andere
ebenfalls erhalten wird.

\section{Theoretische Grundlagen: Fourier-Reihen ($2\pi$-Periode)}
$f(x)$ sei eine Funktion mit der Periode $2\pi$ und durch eine
Reihe darstellbar, dann kann man transformieren zu der
Fourier-Reihe:
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))
\end{gather*}
Die Fourier-Koeffizienten kann man wie folgt berechnen:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \operatorname{d}x,\\
    a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \operatorname{d}x,\\
    b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \operatorname{d}x,
\end{gather*}

Die komplexe Darstellung:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}
für die Koeffizienten $\in \mathbb{C}$, (erhält man mit der
Euler-Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$)
\begin{gather*}
    c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2},
    c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}\\
    a_0=2c_0, a_n=c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})
\end{gather*}

\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} t \operatorname{d}t =
    \frac{1}{\pi}[\frac{t^2}{2}]|_0^{2\pi} =
    \frac{1}{\pi}(\frac{4\pi^2}{2})=2\pi\\
    \text{Anmerkung zu } \, a_n: \, \text{ungerade Funktion, daher} \, 0 \,\, \text{(testweise berechnet)} \,\, \triangledown\\
    a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} t\cos(nt) \operatorname{d}t=\\
    u=t,u'=1; \,\, r'=\cos(nt), r=\frac{\sin(nt)}{n}\\
    =\frac{1}{\pi}((\frac{t\sin(nt)}{n})|_0^{2\pi} -
    \int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(nt)}{n} \operatorname{d}t)=\\
    =\frac{1}{\pi}((\frac{t\sin(nt)}{n})|_0^{2\pi}
    + (\frac{\cos(nt)}{n^2})|_0^{2\pi})=0\\
    \text{ }\\
    b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} t\sin(nt) \operatorname{d}t=\\
    u=t,u'=1; \,\,  r'=\sin(nt), r=-\frac{\cos(nt)}{n}\\
    =\frac{1}{\pi}((-\frac{t\cos(nt)}{n})|_0^{2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(nt)}{n}
    \operatorname{d}t)=\\
    \frac{1}{\pi}(\frac{-2\pi\overbrace{\cos(2\pi n)}^{=1}}{n} +
    \underbrace{(\frac{\sin(nt)}{n^2})|_0^{2\pi}}_{=0})=-\frac{2\pi}{n}\\
    \text{ }\\
    \mathbf{f(x)=\pi + \sum_{n=1}^\infty 0\cos(nt) -
    \frac{2}{n}\sin(nt)}
    \text{ }\\
    c_n=i\cdot \frac{1}{n} \,\, \Rightarrow \,\, \mathbf{S_F (t)=
    \pi}- 2\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin(nt)}{n}\\
    \text{ }\\
\end{gather*}

$\triangledown \,\, $ Funktion nicht direkt ungerade (wird erst
durch Verschiebung ersichtlich).




\end{document}
