%% Beispiel 1
% Mit Hilfe der Trapezregel ein bestimmtes Integral lösen
%
% $$\int_0^1 \sin x dx$$
%
% Trapezregel: 
%
% $$T_h(f) = h\left[\frac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+\frac{1}{2}f(x_N)\right]$$
%


N = 10;
number_steps = zeros(N,1);
stepsize = zeros(N,1);
err_trapez = zeros(N,1);
trapez = zeros(N,1);
for i = 1:N
    x = 2^(-i):2^(-i):(1-2^(-i));
    trapez(i) = (sum(sin(x))+0.5*(sin(0)+sin(1)))*2^(-i);
    err_trapez(i) = abs(trapez(i)-(1-cos(1)));
    number_steps(i) = length(x);
    stepsize(i)=2^(-i);
end



figure;
loglog( stepsize,   err_trapez,    'b', ...
        stepsize,   stepsize,      ':r', ...
        stepsize,   stepsize.^2,   'r', ...
        stepsize,   stepsize.^3,   '--r');
title('Fehler bei Trapezregel');
xlabel('Anzahl Stuerzstellen');
ylabel('Fehler');
legend('Fehler','h','h^2','h^3');

fprintf('exaktes Ergebnis (1-cos(1): %f\n',(1-cos(1)));
printis = [(1:10)',stepsize,number_steps,trapez,ones(10,1)*(1-cos(1)),err_trapez];
fprintf('%d: Trapezfunktion bei h=%f und %d Schritten:\n Ergebnis:\t%f\n Exakt:\t\t%f\n Fehler:\t%f\n',printis');