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  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 10, Beispiel 64}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 10, 19.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
18.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man berechne die Spektralkoeffzienten $c_k, 0 \leq k \leq N - 1$
f{\"u}r die diskrete Rechteckfunktion $\vec{y} = (y_0, \dots,
y_{N-1})^T$ , wobei $N = 2M$ als gerade vorausgestzt wird, mit
\begin{gather*}
    y_j = \begin{cases} 1, & 0 \leq j \leq \frac{N}{2} - 1
    \\ 0, & \frac{N}{2} \leq j \leq N -1\end{cases}
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Spektraldarstellung der Fourier-Reihe}
\begin{gather*}
    f(x)=s(x)=\frac{a_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^\infty d_k \cdot \sin
    (k\cdot x + \varphi_k)
\end{gather*}

        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.8]{spektraldarstellung.eps}
        \end{center}

mit der gemeinsamen Fourier-Amplitude
\begin{gather*}
    d_k = \sqrt{a_k^2 + b_k^2}, \varphi_k=\arctan \frac{a_k}{b_k}
    \, \, \forall \, b_k > 0
\end{gather*}

Die \textbf{komplexe Form der Fourier-Reihe} lautet:
\begin{gather*}
    f(x)=s(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot e^{j \cdot k \cdot
    x},\qquad T=2\cdot \pi
\end{gather*}
Mit dem \textbf{Spektrum} der Funktion $f(x)$ (komplexe
Fourier-Koeffizienten bzw. \textbf{Spektralkoeffizienten} $c_k$)
\begin{gather*}
    c_k = \frac{1}{2\cdot \pi} \cdot \int_0^{2 \cdot \pi} f(x)
    \cdot e^{-j \cdot k \cdot x} \operatorname{d}x =
    \begin{cases}\frac{a_0}{2}, & \text{wenn } k= 0\\ \frac{1}{2}\cdot (a_k - j \cdot b_k), & \text{wenn }
    k>0\\ \frac{1}{2}\cdot (a_{-k} + j \cdot b_{-k}), & \text{wenn }
    k<0\end{cases}
\end{gather*}

Beziehungen:
\begin{gather*}
    a_k = c_k + c_{-k}, \qquad b_k=k\cdot(c_k - c_{-k})
\end{gather*}

\newpage

Zeitfunktion (Elektrotechnik): $x := \omega \cdot t$
\begin{itemize}
    \item Bezugs- (Grund-) Kreisfrequenz: $\omega_0=\frac{2\dot \pi}{T}$
    \item Kreisfrequenz: $\omega_k = k \cdot \omega_0$
    \item Periodemdauer: $T$
    \item (Linien-) Spektrum von $f(x)$: $2\cdot \pi \cdot c_k$
    bzw. $T \cdot c_k$
    \item Frequenzabstand zweier Spektrallinien: $\triangle\omega_0=\frac{2\cdot \pi}{T}$
\end{itemize}
\begin{gather*}
    f(t)=s(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot e^{i \cdot k \cdot
    \omega_0 \cdot t}
\end{gather*}
mit den Fourier-Koeffizienten
\begin{gather*}
    c_k=\frac{1}{T} \cdot \int_0^T f(t) \cdot r^{-j \cdot k \cdot
    \omega_0 \cdot t} \operatorname{d}t
\end{gather*}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\subsection{Lösungsvorschlag aus dem Forun}
Einsetzen in die Formel:
\begin{gather*}
    c_k=\frac{1}{2M}\sum _{j=0}^{M-1} \:y_j\cdot e^{-\frac{\pi*i}{M}\cdot k\cdot j}
\end{gather*}
Alle $y_j$ sind $1$. Es gilt: $N=2M$ und daher gilt: $\omega=e^{
\frac{2 \pi i}{N} }=e^{ \frac{2 \pi i}{2M} }=e^{ \frac{\pi i}{M}}$
\begin{gather*}
    c_k=\frac{1}{2M}\sum _{j=0}^{M-1} \:1\cdot\ e^{-\frac{\pi*i}{M}\cdot k\cdot j}
\end{gather*}
Die Summe kann man als geometrische Reihe anschreiben:
\begin{gather*}
    \frac{1}{2M} \cdot  \frac{ e^{ -\frac{ \pi i k M }{M} } -1}{ e^{-\frac{\pi i k}{M}}-1}
    =\frac{1}{2M} \cdot \frac{ e^{ -\pi i k M } -1}{ e^{-\frac{\pi i k}{M} }-1}
\end{gather*}
Weitere Vereinfachung:
\begin{gather*}
    c_k =
    \begin{cases} 0 & k \,\text{gerade} \\
    -\frac{1}{M(e^{-\frac{\pi i k}{M}})-1}\qquad & k
    \, \text{ungerade} \end{cases}
\end{gather*}

\subsection{Lösung aus der UE}
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{10-64.eps}
        \end{center}
\begin{gather*}
    c_k=\frac{1}{2M}\sum _{j=0}^{M-1} 1 \cdot e^{-kj\frac{\pi
    i}{M}}\\
    q=e^{kj\frac{\pi
    i}{M}}, \qquad s_n=\sum _{l=0}^n a_0 \cdot q^l=
    \frac{1}{2M}(\frac{q^{n+1}-1}{q-1})=\\
    \frac{1}{2M}(\frac{e^{-kj\pi i}-1}{e^{-kj\frac{\pi
    i}{M}}-1}) \qquad \text{Fortsetzung wie oben}
\end{gather*}
\end{document}
