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  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 11, Beispiel 71}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 11, 26.01.2007 (entfallen)}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
30.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man l{\"o}se die folgende partielle Differentialgleichung f{\"u}r $u(x,y)$
durch Zur{\"u}ckf{\"u}hren auf eine gew{\"o}hnliche Differentialgleichung.
\begin{gather*}
    u_{xy} + u_x + x + y = 1 \qquad u(x,0) = 0, u(0,y)=0
\end{gather*}

\subsection{L{\"o}sung des Beispiels}
Unsere PDG entspricht der Form $u_{xy} + au_x = f(x,y)$, also
entsprechend umgeformt: $u_{xy} + 1 \cdot u_x = x-y+1$.

Somit ist $a=1$, $f(x,y)=-x-y+1$.

Die zu verwendenden L{\"o}sungsformeln sind:
\begin{gather*}
    u_x = e^{-ay}(c(x) + \int_{y_0}^y e^{ay}f(x,y) \,
    \operatorname{d}y\\
    u(x,y)= \int_{x_0}^x u_x \operatorname{d}x + g(y)
\end{gather*}

Daraus berechnen wir:
\begin{gather*}
    u_x=e^{-y}(c(x) + \int_0^y e^y(-x-y+1) \operatorname{d}y) =
    e^{-y}(x(x) + \int(e^y-e^yx - ye^y \operatorname{d}y)=\\
    e^{-y}(c(x) + e^y + e^y - ye^{y} - xe^{y})=c(x)e^{-y} - x - y
    + 2\\
    \int u_x \, \operatorname{d}x =
    c(x)e^{-y}-\frac{x^2}{2}-yx+2x+g(y)
\end{gather*}

Nun setzen wir die Nebenbedingungen ein:
\begin{gather*}
    u(x,0)=0 \qquad \Rightarrow \qquad c(x)e^{-0 } + 2x-
    \frac{x^2}{2}+ d(0)=0\\
    u(0,y)=0 \qquad \Rightarrow \qquad c(0)e^{-y} + d(y) = 0
\end{gather*}
Daraus folgt:
\begin{gather*}
    c(x)=-2x + \frac{x^2}{2} - d(0) \qquad \Rightarrow \qquad
    c(0)=-d(0)\\
    d(y) = -c(0)e^{-y} \qquad \Rightarrow \qquad d(y) = d(0)e^{-y}
\end{gather*}
Betrachten $d(y)$: Entweder ist $d(0)=0$ und damit $d(y)=0$ oder
$\frac{\operatorname{d}(y)}{\operatorname{d}(0)}=e^{-y}$, woraus
aber wiederum folgt $y=e^y$. Wir betrachten nun $y=e^y$:
\begin{gather*}
    c(x)=-2x + \frac{x^2}{2}-1\\
    \mathbf{u(x,y)=(-2x + \frac{x^2}{2}-1)e^{-y} + 2x - \frac{x^2}{2} - xy +e^{-y}}
\end{gather*}


\end{document}
