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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 7, Beispiel 48}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 7, 01.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
07.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die Green-Funktion des Randwertproblems
\begin{gather*}
y'' = b(x)\qquad y(0) + y(l) = 0; y'(0) + y'(l) = 0
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Green-Funktion}
\textbf{Green-Funktion für RWP mit homogener Randbedingung:} Ist
$X(t)$ eine Fundamentalmatrix von $\dot{x} = A(t)x$ und
$\operatorname{det} \, D \neq 0$ mit $D=RX(a) + SX(b)$, so besitzt
das RWP
\begin{gather*}
    \dot{x} = A(t)x + b(t), \qquad Rx(a) + Sx(b) = 0
\end{gather*}
die eindeutige Lösung
\begin{gather*}
    x(t)=\int_a^b G(t,\tau) b(\tau) \partial \tau
\end{gather*}
mit der Matrix-Funktion $G: [a,b] \times [a,b] \rightarrow
\mathbb{R}^{n \times n}$ der Gestalt:
\begin{gather*}
    G(t,\tau)=\begin{cases}X(t) [E - D^{-1}SX(b)] X(\tau)^{-1} & a
    \leq \tau \leq t\\X(t)[-D^{-1}SX(b)]X(\tau)^{-1} & t < \tau
    \leq b\end{cases}
\end{gather*}
$G$ ist die Green-Funktion des RWP.

Wenn ein halbhomogenes RWP eine Green-Funktion besitzt, kann durch
Superposition einfach die Lösung des zugehörigen inhomogenen RWP
errechnet werden. Ist $x(t)$ eine Lösung des RWP und $y(t)$ eine
beliebige, leicht zu bestimmende Funktion, welche nur die
Randbedingungen $Ry(a) + Sy(b) = r$ erfüllt, so genügt $z(t) :=
x(t) - y(t)$ dem halbhomogenen RWP
\begin{gather*}
    \dot{z} = Az + b(t) - (\dot{y}(t) - A(t)y(t)), \qquad Rz(a) +
    Sz(b) = 0
\end{gather*}

\textbf{Lösung des inhomogenen RWP mit der Green-Funktion:}
\begin{enumerate}
    \item Suche ein $y(t)$, das nur den inhomogenen
    Randbedingungen $Ry(a) + Sy(b) = r$ genügt.
    \item Berechnung der Green-Funktion G des zugehörigen
    halbhomogenen RWP
    \begin{gather*}
        z(t)=\int_a^b G(t,\tau) (b(\tau) - \dot{y}(\tau) + A(\tau)y(\tau)) \partial \tau
    \end{gather*}
    \item $x(t) = y(t) + z(t)$ ist die Lösung des RWP.
\end{enumerate}


\section{Lösung des Beispiels}
Es gilt:
\begin{gather*}
    L[y]=b(x), \, \, Ry(a) + Sy(b) = 0
\end{gather*}

Wir erhalten:
\begin{gather*}
    g(x,\omega)=\begin{cases}-\frac{x}{2} + \frac{\omega}{2} -
    \frac{1}{4}, & 0 \leq x < \omega\\ \frac{x}{2} - \frac{\omega}{2} -
    \frac{1}{4}, & \omega < x \leq 1\end{cases}
\end{gather*}


Lösungsbasis: $y(x) = c_1\cdot x + c_2$ erhält man aus
\begin{gather*}
    y(x) = \int_a^b g(x,\omega)b(\omega) \, d\omega
\end{gather*}

\end{document}
