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  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 56}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
19.12.2006\\
Vielen Dank an \emph{Michael BIRSAK} für seine Aufzeichnungen!}
\end{center}

\section{Angabe}
Man entwickle die Funktion
\begin{gather*}
    g(t)=e^t, \qquad 0\leq t < T
\end{gather*}

in eine reine Cosinusreihe, das heisst man bestimme die
(gewöhnliche) Fourier-Reihe der $2T$- periodischen Funktion
$h(t)$, welche die gerade, $2T$-periodische Fortsetzung von $g(t)$
darstellt:
\begin{gather*}
    h(t) = \begin{cases}g(t) & 0\leq t < T\\ g(-t) & -T< t <
    0\end{cases}, \qquad h(t+2T)=h(t)
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Fourier-Reihen ($T$- bzw. $L$-Periode)}
$f(x)$ sei eine Funktion mit der Periode $2L$ und durch eine Reihe
darstellbar, dann kann man transformieren zu der Fourier-Reihe:
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(\frac{n\pi}{L}x)x + b_n\sin(\frac{n\pi}{L}x))
\end{gather*}
Die Fourier-Koeffizienten kann man wie folgt berechnen:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \operatorname{d}x,\\
    a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L}) \operatorname{d}x,\\
    b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L}) \operatorname{d}x,
\end{gather*}

Die komplexe Darstellung:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}
für die Koeffizienten $\in \mathbb{C}$, (erhält man mit der
Euler-Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$)
\begin{gather*}
    c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2},
    c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}\\
    a_0=2c_0, a_n=c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})
\end{gather*}
\newpage

\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
\omega=\frac{2\pi}{T^\ast} = \frac{2\pi}{2T} = \frac{\pi}{T}\\
a_n=\frac{1}{T}(\int_{-T}^{0}e^{-t}\cos(n\omega t)
\operatorname(d)t + \int_{0}^{T}e^{t}\cos(n\omega t)
\operatorname(d)t)\\
= \frac{1}{T}(-\frac{1}{\omega^2n^2+1} - \frac{\omega
n}{\omega^2n^2+1} \sin(-n\pi)e^T +\\
\frac{1}{\omega^2n^2+1}\cos(-n\pi)e^T + \frac{\omega
n}{\omega^2n^2+1}\sin(n\pi)e^T +\\
\frac{1}{\omega^2n^2+1}\cos(n\pi)e^T - \frac{\omega
n}{\omega^2n^2+1}\sin(0) - \frac{1}{\omega^2n^2+1})\\
= \frac{1}{T}(-\frac{2}{\omega^2n^2+1} +
\frac{2}{\omega^2n^2+1}\cos(n\pi)e^T\\
\Rightarrow \,\, a_n =
\begin{cases}\frac{1}{T}(-\frac{2}{\omega^2n^2+1} -
\frac{2}{\omega^2n^2+1}e^t),& n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{T}(-\frac{2}{\omega^2n^2+1} +
\frac{2}{\omega^2n^2+1}e^t),& n \text{ gerade}\end{cases}
\end{gather*}

Gerade fortgesetzt, daher $b_n=0$.

\begin{gather*}
    \mathbf{S_f(t)=\frac{1}{T}(e^T-1) + \sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\omega T)}
\end{gather*}




\end{document}
