\documentclass[a4paper]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{listings}
\usepackage{color} % f{\"u}r den grauen Hintergrund

%\usepackage{endnotes}

\setlength{\parindent}{0 em}

\definecolor{Gray}{gray}{0.9}

\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
backgroundcolor=\color{Gray}, numbers=left, numberstyle=\tiny,
stepnumber=1, numbersep=5pt}

\DeclareGraphicsExtensions{.eps}

%\DeclareGraphicsRule{.gif}{eps}{}{`convert #1 'eps:-'}

  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 51}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
08.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man zeige die in der Vorlesung besprochene Orthogonalitätsrelation
für die folgende Menge von T-periodischen Funktionen: $\{f_k(t) :=
e^{ik\omega t}| k \in \mathbb{Z}\}$, wobei $\omega :=
\frac{2\pi}{T}$. Es gilt nämlich für $k,l \in \mathbb{Z}$
\begin{gather*}
    \int_0^T f_k(t)\overline{f_{l}(t)} \,\, dt =
    \begin{cases}0 & k \neq l\\1 & k =l\end{cases}
\end{gather*}
Anmerkung:
\begin{gather*}
    \overline{e^{ik\omega t}} = \overline{\cos(k\omega t) +
    i\sin(k\omega t)}=\cos(k\omega t) - i\sin(k\omega t) =
    e^{-ik\omega t}
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Orthogonalitätsrelationen und Bestimmung der Koeffizienten}
Weil die \textbf{Orthogonalitätsrelationen} (s. Bsp. 50) gelten,
lassen sich die Koeffizienten eines trigonometrischen Polynoms
über Integrale bestimmen:
\begin{gather*}
    \frac{1}{T} \int_0^T e^{ik\omega t} \cdot e^{\overline{ik\omega
    t}}= \begin{cases}1, & k = n\\0, & k\neq n\end{cases} \,\,\,
    (n,k \in \mathbb{Z})
\end{gather*}


\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    k = l \Rightarrow \int_{0}^{T} \underbrace{e^{ik\omega t}
    \cdot e^{-ik\omega t}}_{=1} dt = \int_{0}^{T} 1 dt = T\\
    k \neq l \Rightarrow \int_{0}^{T} e^{ik\omega t} \cdot
    e^{-il\omega t} = \int_{0}^{T} e^{i\omega t \cdot (k-l)} dt =
    \frac{1}{i\omega \cdot (k-l)} [e^{i\omega t \cdot
    (k-l)}]^{T}_{0}
    \\\Rightarrow [\cos(\omega t (k - l)) + i
    \cdot \sin(\omega t (k - l))]^{T}_{0} = \underbrace{\cos(\omega T (k
    - l))}_{=1 \,\, \square} + i \cdot \underbrace{\sin(\omega T (k - l))}_{=0} -
    \cos(0) - i \cdot \sin(0)=0\\
    \square \qquad \cos(\omega T (k - l)) = 1 \text{ durch
    Einsetzen von } \frac{2\pi}{T}
\end{gather*}



\end{document}
