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  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 54}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
19.12.2006\\
Vielen Dank an \emph{Michael BIRSAK} für seine Aufzeichnungen!}

\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die Fourier-Reihe folgender $2\pi$-periodischer
Funktion $f(t)$:
\begin{gather*}
    f(t)=\cos t + |\cos t|
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Fourier-Reihen ($2\pi$-Periode)}
$f(x)$ sei eine Funktion mit der Periode $2\pi$ und durch eine
Reihe darstellbar, dann kann man transformieren zu der
Fourier-Reihe:
\begin{gather*}
    f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))
\end{gather*}
Die Fourier-Koeffizienten kann man wie folgt berechnen:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \operatorname{d}x,\\
    a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \operatorname{d}x,\\
    b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \operatorname{d}x,
\end{gather*}

Die komplexe Darstellung:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}
für die Koeffizienten $\in \mathbb{C}$, (erhält man mit der
Euler-Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$)
\begin{gather*}
    c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2},
    c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}\\
    a_0=2c_0, a_n=c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})
\end{gather*}

\newpage
\section{Lösung des Beispiels}
Zunächst betrachten wie den Graphen der Funktion $f(t)=\cos t +
|\cos t|$:

        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.5]{8-54.eps}
        \end{center}

Wir können $f(t)$ also im Intervall $[0,2\pi]$ anschreiben als
($2\pi$-periodisch fortgesetzt):
\begin{gather*}
    f(t) \begin{cases} 0 < \cos(t) < \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{2} < \cos(t) <
    \frac{3\pi}{2}\\ \frac{3\pi}{2} < \cos(t) < 2\pi\end{cases}
\end{gather*}

$a_0$ ist zu berechnen und ergibt sich aus:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2} \cos(t) + |\cos(t)| \operatorname{d}t
\end{gather*}
Wir betrachten (da Linearkombination), die Summanden für sich:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos(t) \operatorname{d}t +
    \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |\cos(t)| \operatorname{d}t =
    \frac{1}{2\pi}4 + \frac{1}{2\pi}4 = \frac{4}{\pi}
\end{gather*}


Wir berechnen nun $a_n$ (Beachte mittleres Intervall ist $0$):
\begin{gather*}
        f(t)=\begin{cases}2\cos(t), & 0 \leq \pi <
        \frac{\pi}{2}\\ 0,& \frac{\pi}{2} \leq t <
        \frac{3\pi}{2}\\ 2\cos(t), & \leq t < 2\pi\end{cases}\\
        a_n=\frac{1}{\pi}(2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cdot \cos (nt)
        \operatorname{d}t + 2\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos(t) \cdot \cos (nt)
        \operatorname{d}t)\\
        \int \underbrace{\cos(t)}_{u}
        \underbrace{\cos(t)}_{\operatorname{d}v} \operatorname{d}t
        = \frac{1}{n}\sin(nt)\cos(t) + \frac{1}{n}
        \underbrace{\sin(t)}_{x}\underbrace{\sin(t)}_{\operatorname{d}y}t= \,\, \blacklozenge\\
        u = \cos(t), \operatorname{d}u = -sin(t)
        \operatorname{d}t; \,\, \operatorname{d}v =
        \cos(nt)\operatorname{d}t, v = \frac{1}{n}\sin(nt)\\
        x = \sin(t), \operatorname{d}y = cos(t)
        \operatorname{d}t; \,\, \operatorname{d}< =
        \sin(nt)\operatorname{d}t, v = -\frac{1}{n}\cos(nt)\\
        \blacklozenge \,\, = \frac{1}{n}\sin(nt)\cos(t) +
        \frac{1}{n}(-\frac{1}{n}\sin(t)\cos(nt) +
        \frac{1}{n}\int\cos(t)\cos(nt) \operatorname{d}t)\qquad |\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{n^2}}\\
        (\int\cos(t)\cos(nt) \operatorname{d}t)(1-\frac{1}{n^2}) =
        \frac{1}{n}\sin(nt)\cos(t) -
        \frac{1}{n^2}\cos(nt)\sin(t)\\
        \Rightarrow \, \, a_n =
        \frac{2}{\pi}(-\frac{1}{n^2-1}\cos(n\frac{\pi}{2}) -
        \frac{1}{n^2-1\cos(n\frac{3\pi}{2})}\\
        \mathbf{\Rightarrow \, \, a_n =\begin{cases}0, n \text{ ungerade}\\ \frac{2}{\pi}\cdot\frac{-2}{n^2-1}=-\frac{4}{\pi(n^2-1)},& n \equiv 0 \operatorname{mod}
        4\\ \frac{4}{\pi(n^2-1)}, & n \equiv 2 \operatorname{mod} 4
        \end{cases}}\\
        a_1=\frac{1}{\pi}(2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t)\operatorname{d}t
        +2\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}
        \cos^2(t)\operatorname{d}t=1\\
        \mathbf{Sf(t)=\frac{2}{\pi} + \cos(t) + \sum_{n=2}^\infty \frac{4}a_n\cos(nt)}
\end{gather*}





\end{document}
