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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 55}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
14.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Zeige, dass eine gerade $T$-periodische Funktion ($f(t) = f(-t)$)
in ihrer reellen Fourierentwicklung (= Sinus-Cosinus-Form) keine
Sinus-Ausdrücke enthalten kann.

\section{Theoretische Grundlagen: Fourier-Reihen ($T$- bzw. $L$-Periode)}
$f(x)$ sei eine Funktion mit der Periode $2L$ und durch eine Reihe
darstellbar, dann kann man transformieren zu der Fourier-Reihe:
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(\frac{n\pi}{L}x) + b_n\sin(\frac{n\pi}{L}x))
\end{gather*}
Die Fourier-Koeffizienten kann man wie folgt berechnen:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \operatorname{d}x,\\
    a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L}) \operatorname{d}x,\\
    b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L}) \operatorname{d}x,
\end{gather*}

Die komplexe Darstellung:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}
für die Koeffizienten $\in \mathbb{C}$, (erhält man mit der
Euler-Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$)
\begin{gather*}
    c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2},
    c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}\\
    a_0=2c_0, a_n=c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})
\end{gather*}
\newpage
\section{Lösung des Beispiels}
In unserem Beispiel ist die Periode $T$ bzw. $L$ (Unterschied ist
nur in den Integrationsgrenzen).

Wenn bei $f(t)=f(-t)$ keine Sinus-Ausdrücke enthalten soll, so
muss der Fourier-Koeffizient $b_n=0$ sein. Somit können wir
schrieben:
\begin{gather*}
    \frac{2}{T}\int_0^T f(t) \cdot\sin(nt
    )\operatorname{d}t = \frac{2}{T}\int_0^T f(-t) \cdot\sin(nt
    )\operatorname{d}t
\end{gather*}
Weil $f(t)=f(-t)$ ist und $\sin(-nt)=-\sin(nt)$ ist, können wir
schreiben und weiter ausführen (Durch die Umformung des
Sinus-Terms und die Indexveschiebung von $f(t)=f(-t)$ ersetzen):
\begin{gather*}
    \frac{2}{T}\int_0^T f(t) \cdot\sin(nt
    )\operatorname{d}t = -\frac{2}{T}\int_0^T f(t) \cdot\sin(nt
    )\operatorname{d}t\\
    \frac{4}{T}\int_0^T f(t) \cdot\sin(nt
    )\operatorname{d}t = 0 = b_n \qquad \surd
\end{gather*}
\end{document}
