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  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 7, Beispiel 49}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 7, 01.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
06.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme alle reellen Eigenwerte $\lambda \in \mathbb{R}$ und
die zugehörigen Eigenfunktionen des linearen Eigenwertproblems
\begin{gather*}
    y'' - \lambda^2y = 0 \qquad y(1) = y(-1); y'(1) = y'(-1)
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Lineares Eigenwertproblem}
    Spezielle Randwertprobleme, die von einem Parameter $\lambda$
    abhängen. Betrachte vollhomogenes lineares RWP. Die Existenz
    von nichttrivialer Lösung $y(x)=0$ hängt von der Wahl des
    Parameters $\lambda \in \mathbb{C}$ (oder $\lambda \in
    \mathbb{R}$) ab.

    \textbf{Definition}: Jeder Wert $\lambda$, für den das
    vollhomogene RWP nichttriviale Lösungen besitzt, heißt
    Eigenwert. Die zugehörigen nichtrivialen Lösungen $y(x)$
    heißen Eigenfunktionen zum Eigenwert $\lambda$.

    Anmerkung: Aus dem Alternativsatz folgt: $\operatorname{det}
    \, D = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \lambda$ ist Eigenwert.

\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    y''-\lambda^2\cdot y, \qquad R = \begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      0 & 1 \\
    \end{pmatrix}, S = \begin{pmatrix}
      -1 & 0 \\
      0 & -1 \\
    \end{pmatrix}
\end{gather*}

Lösen charakteristisches Polynom und bilden Fundamentalmatrix
$\Phi$:
\begin{gather*}
    \alpha^2-\lambda^2 = 0 \,\, \Rightarrow \,\, \alpha = \pm
    \lambda\\
    \Phi = \begin{pmatrix}
      \lambda \cdot x & e^{-\lambda \cdot x} \\
      \lambda \cdot e^{\lambda \cdot x} & -\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \\
    \end{pmatrix}
\end{gather*}

Wir berechnen, in Anlehnung an die Ausführungen zum
Alternativsatz, die Determinante von $D=R\cdot \Phi(1) +
S\cdot\Phi(-1)$:
\begin{gather*}
    D=\begin{pmatrix}
      1 & 0 \\
      0 & 1 \\
    \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
      \lambda & e^{-\lambda} \\
      \lambda \cdot e^{\lambda} & -\lambda \cdot e^{-\lambda} \\
    \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
      -1 & 0 \\
      0 & -1 \\
    \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
      \lambda & e^{\lambda} \\
      \lambda \cdot e^{-\lambda} & -\lambda \cdot e^{\lambda} \\
    \end{pmatrix} =\\
    \begin{pmatrix}
      \lambda & e^{-\lambda} \\
      \lambda \cdot e^{\lambda} & -\lambda \cdot e^{-\lambda} \\
    \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
      \lambda & -e^{\lambda} \\
      -\lambda \cdot e^{-\lambda} & \lambda \cdot e^{\lambda} \\
    \end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix}
      2\lambda & e^{-\lambda}-e^{\lambda} \\
      \lambda \cdot e^{\lambda}-\lambda \cdot e^{-\lambda} & -\lambda \cdot e^{-\lambda} + \lambda \cdot e^{\lambda} \\
    \end{pmatrix}\\
     \operatorname{det} \, D = 2 \cdot \lambda
      \cdot(-e^{-\lambda} + e^{\lambda})^2=0
\end{gather*}

Wenn $\lambda=0$ ist, existiert triviale Lösung. Wir berechnen nun
$c_1$ und $c_2$:
\begin{gather*}
    y = c_1 \cdot e^{\lambda \cdot x} + c_2 \cdot e^{-\lambda \cdot
    x}\\
    y = \lambda \cdot c_1 \cdot e^{\lambda \cdot x} - \lambda \dot c_2 \cdot e^{-\lambda \cdot
    x}\\
    \lambda=0 \,\, \Rightarrow y= c_1 + c_2, \,\, y'=0\\
    y(1)=y(-1): \,\, c_1 + c_2 = c_1 + c_2
\end{gather*}

$y'$ braucht nicht mehr betrachtet zu werden. $c_1$ und $c_2$
können beliebig gewählt werden.



\end{document}
