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\usepackage{color} % f{\"u}r den grauen Hintergrund

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  \setcounter{MaxMatrixCols}{11}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 10, Beispiel 65}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 10, 19.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
18.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man zeige die folgenden Verschiebungsformeln einer diskreten
periodischen Funktion $\vec{y} \in \mathbb{C}^N$:
\begin{itemize}
    \item Verschiebung im Zeitbereich: $(y_{k+n})_k \,\, \overbrace{\longrightarrow}^{DFT} \,\, (w^{kn}c_k)_k$
    \item Verschiebung im Frequenzbereich: $(w^{kn}c_k)_k \,\, \overbrace{\longrightarrow}^{DFT} \,\, (c_{k-n})_k$
\end{itemize}


\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\subsection{Verschiebung im Zeitbereich}
Zu zeigen ist: Verschiebung im Zeitbereich: $(y_{k+n})_k \,\,
\overbrace{\longrightarrow}^{DFT} \,\, (w^{kn}c_k)_k$
\begin{gather*}
    \sum_{j=0}^{N-1} y_{y+n}e^{-\frac{2\pi i}{N} kj}
    \qquad \Rightarrow \text{Indexshift}\\
    \Rightarrow \sum_{j=n}^{N-1+n}y_j e^{-\frac{2\pi i}{N} k(j-n)}=\\
    y_j e^{-\frac{2\pi i}{N} kj}e^{\frac{2\pi i}{N} kn}
    =\\
    e^{\frac{2\pi i}{N} kn}\sum_{j=n}^{N-1+n} \underbrace{y_j e^{-\frac{2\pi i}{N}
    kj}}_{c_k}=\mathbf{\omega^{kn}c_k}
\end{gather*}

%Wird der Graph einer Zeitfunktion $f(t)$ entlang der $t$-Achse um
%eine Konstante $t_0$ verschoben, so kann man dies durch $f(t-r:0)$
%ausdr{\"u}cken, F{\"u}r diese verschobene Originalfunktion kann man die
%Bildfunktion mit Hilfe des Verschiebungssatzes ermitteln, wenn die
%Fouriertransformierte von $f(t)$ bekannt ist.
%
%\begin{gather*}
%    \mathcal{F}\{(t-t_0)\} = \int_{-\infty}^\infty
%    f(t-t_0)e^{-i\omega t}\operatorname{d}t
%    \underbrace{=}_{\text{Subst. } \tau = t - t_0}\\
%    =  \int_{-\infty}^\infty f(\tau)e^{-i\omega (\tau-t_0)}
%    \operatorname{d}\tau = -e^{i\omega t_0} \int_{-\infty}^\infty
%    f(\tau)e^{-i\omega\tau} \operatorname{d}\tau  =\\
%    e^{-i\omega\tau} F(i\omega)
%\end{gather*}
\newpage
\subsection{Verschiebung im Frequenzbereich}
Zu zeigen ist: Verschiebung im Frequenzbereich: $(w^{kn}c_k)_k
\,\, \overbrace{\longrightarrow}^{DFT} \,\, (c_{k-n})_k$

\begin{gather*}
    \frac{\omega{kn}}{N}\sum_{j=0}^{N-1}y_k \omega^{-kj} \qquad \Rightarrow \text{Indexshift}\\
    \Rightarrow \frac{\omega{kn}}{N}\sum_{j=-n}^{N-1-n}y_{k-n}
    \omega^{-k(j+n)}=\\
    \frac{\omega{kn}}{N}\sum_{j=-n}^{N-1-n}y_{k-n}
    \omega^{-kj)} \omega^{-kn)}=\\
    \omega{-kn}\frac{\omega{kn}}{N}\sum_{j=-n}^{N-1-n}y_{k-n}=\frac{1}{N}c_{k-n}
    \omega^{-kj)}
\end{gather*}

%Verschiebung um $\omega_0$:
%\begin{gather*}
%    \mathcal{F}\{f(t) e^{i\omega_0t} \} = \int_{-\infty}^\infty
%    f(t) e^{-i(\omega-\omega_0)t} \operatorname{d}t =
%    F(j(\omega-\omega_0))
%\end{gather*}
\end{document}
