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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 10, Beispiel 70}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 10, 19.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
18.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Unter Verwendung des Fourier-Integraltheorems und der in der
Vorlesung hergeleiteten Transformierten des Rechteckimpulses zeige
man
\begin{gather*}
    \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} e^{-i\omega x}
    \operatorname{d}\omega =
    \begin{cases} \pi, & \forall \, |x| < 1\\ \frac{\pi}{2}, & \forall
    \, |x| = 1\\ 0 , & \forall \, |x| > 1 \end{cases}
\end{gather*}
Was ergibt das Integral $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin
\omega}{\omega} \operatorname{d}\omega$ ?

\subsection{Theoretische Grundlagen: Absolute Integrierbarkeit,
Fourier-Integraltheorem} Eine Funktion $f(t)$ heisst
\textbf{absolut integrierbar}, wenn sie in jedem endlichen
Intervall st{\"u}ckweise stetig ist und wenn gilt:
\begin{gather*}
    \int_{-\infty}^\infty |f(t)| \operatorname{d}t < \infty
\end{gather*}
Satz: Falls eine Funktion $f(t)$ absolut integrierbar ist, dann
existiert die $\mathcal{F}$-transformierte $F(\omega)$ f{\"u}r alle
$\omega \in \mathbb{R}$; $F(\omega)$ ist stetig und beschr{\"a}nkt.

Satz: \textbf{Fourier-Integraltheorem}: Ist die Funktion $f(t)$
absolut integrierbar und ist $f(t)$ auf jedem endlichen Intervall
st{\"u}ckweise stetig differenzierbar, dann gilt:
\begin{gather*}
    \frac{f(t)^+f(t)^-}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
    F(\omega)e^{i\omega t} \operatorname{d}\omega
\end{gather*}
Falls $f(t)$ stetig ist gilt:
\begin{gather*}
   f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
    F(\omega)e^{i\omega t}
    \operatorname{d}\omega=\mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) =
    \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}\{F(-\omega)\}
\end{gather*}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\subsection{Als der UE-Stunde Kuba}
Wir betrachten den
Rechteckimpuls:
\begin{gather*}
    \sqcap := \begin{cases}1, & |t| \leq 1\\ 0, & |t| >
    1\end{cases}
\end{gather*}
Wir berechnen nun die Spektralfunktion:
\begin{gather*}
    \mathcal{F}\{\sqcap(t)\}=\int_{-1}^1 e^{-\omega t}
    \operatorname{d}t=
    -\frac{1}{i\omega}(e^{-i\omega}-e^{i\omega})=\\
    \frac{1}{\omega}(\cos(\omega)-i\sin(\omega)-\cos(\omega)-i\sin(\omega))=
    \begin{cases}2\frac{\sin \omega}{\omega}, &
    t\neq 0\\2, & t = 0\end{cases}
\end{gather*}

Was ergibt das Integral $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin
\omega}{\omega} \operatorname{d}\omega$ ?
\begin{gather*}
    \mathcal{F}^{-1}(F(\omega))(t)=\frac{1}{2\pi} \frac{\sin
    \omega}{\omega}e^{i \omega t} \operatorname{d}\omega = \dots =
    \frac{1}{pi}\int_0^\infty\frac{\sin
    \omega}{\omega} \cos(\omega t)  \operatorname{d}\omega
\end{gather*}
Es gilt:
\begin{gather*}
    \sin a \cdot \cos b = \frac{\sin(a+b)- sin(a-b)}{2}
\end{gather*}
Und somit kann man das Ergebnis weiter vereinfachen:
\begin{gather*}
    \frac{1}{pi}\int_0^\infty\frac{\sin
    (t+1)}{\omega} \operatorname{d}\omega + \frac{1}{pi}\int_0^\infty\frac{\sin
    (1-t)}{\omega} \operatorname{d}\omega
\end{gather*}
Mit einfacher Endrechnung (nicht ausgeführt).

\subsection{Aus der UE-Stunde Panholzer}
Substituiere $\omega = -v$: :: $\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\sin (-v)}{-v} e^{-i(-v)x} \operatorname{d}(-v) =
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin v}{v} e^{i v x}
\operatorname{d}v$ ($\blacklozenge$)

Aus der Übung ist bekannt:
\begin{gather*}
    \mathcal{F}\{ \sqcap(t) \} = 2 \frac{\sin \omega}{\omega}
\end{gather*}
Wobei
\begin{gather*} \sqcap(t) =
\begin{cases} 1, & \forall \, |x| \leq 1 \\ 0, & \forall \, |x| >
1 \end{cases}
\end{gather*}
Daraus folgt:
\begin{gather*} \mathcal{F}^{-1} \{ \frac{\sin
\omega}{\omega} \} = \frac{1}{2} \sqcap(t)
\end{gather*}
Man betrachte das Fourier-Integraltheorem:
\begin{gather*}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}\{f(t)\} e^{i
\omega x} \operatorname{d}\omega = \frac{f(t^{+}) + f(t^{-})}{2}
\end{gather*}
Damit können wir ($\blacklozenge$) weiter umformen:
\begin{gather*}
    \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin v}{v} e^{i v x}
    \operatorname{d}v = 2 \pi \frac{\frac{1}{2} \sqcap(t^{+}) +
    \frac{1}{2} \sqcap(t^{-})}{2} =
    \frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-}))
\end{gather*}

Da $\sqcap(t) = 1$ für $|t| \leq 1$ und $\sqcap(t) = 0$ für $|t|
> 0$ ist, kann man sich leicht davon überzeugen, daß das
der gesuchten Funktion entspricht:
\begin{itemize}
    \item$t \in (-1,1): \frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-})) =
\frac{\pi}{2}(1+1) = \pi$
    \item$t \in \{-1; 1\}: \frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+})+\sqcap(t^{-})) =
\frac{\pi}{2}(0+1) = \frac{\pi}{2}$
    \item$t \in (-\infty,-1)\cup(1,\infty):
\frac{\pi}{2}(\sqcap(t^{+}) +\sqcap(t^{-})) = \frac{\pi}{2}(0+0) =
\frac{\pi}{2}$
\end{itemize}
\end{document}
