\documentclass[a4paper]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}

%\usepackage{endnotes}

\setlength{\parindent}{0 em}


\DeclareGraphicsExtensions{.eps}

%\DeclareGraphicsRule{.gif}{eps}{}{`convert #1 'eps:-'}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 3, Beispiel 17}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 03.11.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
01.11.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Ein Tank enthält 100 Liter Wasser. Eine Salzlösung, die 0,5 kg
Salz pro Liter enthält, fliesst mit der Rate von 3 Liter pro
Minute ein und die gut umgerührte Mischung fliesst mit derselben
Rate aus.

(a) Wieviel Salz ist zu einer beliebigen Zeit in dem Tank?

(b) Wann enthält der Tank 25 kg Salz?

\section{Lösung des Beispiels}
Eine Skizze ist hilfreich bei der Formulierung eines Modells:

        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{grafik_tank.eps}
        \end{center}

Nach dem Gleichgewichtsgesetz formulieren wir:
\begin{gather*}
    y(t)' = \text{Zuflussrate} - \text{Abflussrate}(t),
\end{gather*}
wobei $y(t)$ von der Zeit (in Minuten) abhängig ist und die
Konzentration von Salz zu einem Zeitpunkt $t$ bezeichnet.

Wenn $0.5$ kg Salz pro Liter enthalten sind und die Zuflussrate
$3$ Liter pro Minute beträgt, so sind nach einer Minute $1.5$ kg
Salz enthalten.

Der Abfluss ist $\frac{3 \, l}{100 \, l} = 0.03 = 3\%$.

Daraus formulieren wir:
\begin{gather*}
    y' = 1.5 - 0.03 \cdot y\\
    y' = 0.03 \cdot (y - 50)
\end{gather*}

Nun lösen wir die (trennbare) Differentialgleichung:
\begin{gather*}
    \frac{dy}{y-50} = \frac{dt}{-0.03} \qquad | \, \int\\
    \ln |y-50| = -0.03 \cdot t + \widetilde{C}\\
    y = c \cdot e^{-0.03\cdot t} + 50
\end{gather*}

Da zu Beginn ($t=0$) noch kein Salz im Tank ist, gilt das AWP
$y(0) = 0$ und wir erhalten $c=-50$ und die spezielle Lösung ist
somit:
\begin{gather*}
    y = -50 \cdot e^{-0.03\cdot t} + 50
\end{gather*}

Wenn nun gefragt ist, zu welchem Zeitpunkt $25$ kg Salz im Tank
enthalten sind, gilt:
\begin{gather*}
    25 = -50 \cdot e^{-0.03\cdot t} + 50\\
    -25 = -50 \cdot e^{-0.03\cdot t} \\
    \frac{1}{2} = e^{-0.03\cdot t} \\
    \ln \frac{1}{2} = -0.03 \cdot t \\
    t = 23.11
\end{gather*}
Nach etwa $23$ Minuten und $7$ Sekunden enthält der Tank $25$ kg
Salz.

\end{document}
