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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 1, Beispiel 2}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 20.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
18.10.2006, 06.12.}
\end{center}

\section{Angabe}
Man zeige, dass die Funktion $f(x, y) = 5|\cos(\pi y)| + x^2$ in
$G = \mathbb{R}^2$ einer $L$-Bedingung (bezüglich $y$) genügt, und
gebe eine $L$-Konstante an.

\section{Lösung des Beispiels}
\subsection{Erster Lösungsversuch}
\begin{gather*}
    |(5\cdot|\cos (\pi \cdot y_1)| + x^2) -  |(5\cdot|\cos (\pi \cdot y_2) +
    x^2)| =\\
    5\cdot\underbrace{|(|\cos (\pi \cdot y_1)| - |\cos (\pi \cdot y_2)|)|}_{\in [0,1]} \leq
    L \cdot |y_1-y_2|
\end{gather*}

\begin{enumerate}
    \item $|y_1-y_2| > 1$
    \item $|y_1-y_2| = 0$
    \item $|\cos (\pi \cdot y_1)| - |\cos (\pi \cdot y_2)| \leq C \cdot
    |y_1-y_2|$
\end{enumerate}

        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.4]{probdiff.eps}
        \end{center}

\subsection{Eigentliche Lösung}
Folgerung: Dreiecksungleichung
\begin{gather*}
     ||y_1| - |y_2|| \leq |y_1 - y_2|\\
     |x+y| \leq |x| + |y|, \,\, |y_1| = |y_1 - y_2 + y_2| \leq |y_1 - y_2| +
     |y_2|\\
     |y_1| - |y_2| \leq |y_1 - y_2|\\
     ||y_1| - |y_2|| \leq |y_1 - y_2|\\
     \text{ }\\
     5 \cdot||\cos (\pi \cdot y_1)|  -  |\cos (\pi \cdot y_2)||
     (\leq L |y_1 - y_2|)\\
     \leq 5 \cdot|\cos (\pi \cdot y_1)  -  \cos (\pi \cdot y_2)| = \underbrace{\frac{5 \cdot|\cos (\pi \cdot y_1)  -  \cos (\pi \cdot
     y_2)|}{|y_1-y_2|}\cdot |y_1-y_2|}_{\text{Mittelwertsatz}}\\
     f'(\cos(\pi y)) = -\sin(\pi y)) \Rightarrow |f'| \leq \pi\\
     \Rightarrow \mathbf{\leq 5\pi|y_1-y_2|}
\end{gather*}

$L$ ist somit $5\pi$.
\end{document}
