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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 50}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
08.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Unter Zuhilfenahme der Potenzreihenentwicklung des $\cosh z$:
\begin{gather*}
    \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}=\sum_{n\geq 0}
    \frac{z^{2n}}{(2n!)}, \qquad z \in \mathbb{C}
\end{gather*}

bestimme man den Wert der folgenden trigonometrischen Reihe:
\begin{gather*}
    \sum_{n\geq 0}^\infty \frac{\cos 2nt}{(2n!)}
\end{gather*}
Anmerkung: Man fasse die Reihe als Realteil von $\sum_{n\geq
0}^\infty \frac{\cos 2nt + i\sin 2nt}{(2n!)}$ auf.

\section{Theoretische Grundlagen: Darstellung trigonometrischer Polynome und Reihen}
\subsection{Trigonometrische Polynome}
\subsubsection{Allgemeines}
Trigonometrisches Polynom (eine Trigonometrische Summe) ist ein
Polynom, welches trigonometrische Ausdrücke erhält. Es hat also
folgende Form:
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_k\cos k \omega x+b_k\sin k
    \omega x)
\end{gather*}
wobei $a_k , b_k \in \mathbb{R}$.

$n$ bezeichnet man als den Grad des Polynoms und
$\omega=\frac{2\pi}{T}$, wobei $T$ die Periode von $f$ ist.

\subsubsection{Periodische Funktionen - Rechenregeln}
Es gilt für Funktionen mit der Periode $T$:
\begin{gather*}
    f(t+T)=f(t), \qquad \forall t \in \mathbb{R}
\end{gather*}
\newpage
Wichtige Rechenregeln:
\begin{enumerate}
    \item Mit $T$ ist auch $nT$ für alle $n=1,2,3,\dots$ eine
    Periode.
    \item Mit $f$ und $g$ ist auch $\alpha f + \beta g$
    ($\alpha,\beta \in \mathbb{C}$) $T$-periodisch
    \item Ist $f$ $T$-periodisch, gilt für alle $a \in
    \mathbb{R}$:
        \begin{gather*}
            \int_a^{a+T} f(t)\operatorname{d}t = \int_0^{T} f(t)\operatorname{d}t
        \end{gather*}
    \item Die Reduktion auf die Periode $2\pi$ erfolgt über die
    Substitution
    \begin{gather*}
        x := \frac{2\pi}{T}t=\omega t \,\, \text{ mit } \,\,
        \omega=\frac{2\pi}{T}
    \end{gather*}
    Ist $f(t)$ $T$-periodisch, so ist $F(x) :=
    f(\frac{x}{\omega})=f(t)$ $2\pi$-periodisch.
\end{enumerate}

\subsubsection{Periodische Funktionen - Periodische Fortsetzung}
Ist eine Funktion $g$ nur auf $[0,T]$ erklärt, so kann man drei
Fortsetzungsformen unterscheiden:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Direkte Fortsetzung ($T$-periodisch)}:
    $\mathbb{\mathbb{R}}$ wird in Intervalle $I_n := [nT,(n+1)T],
    n \in \mathbb{Z}$ zerlegt und $f$ auf $\mathbb{R}$ definiert
    durch
    \begin{gather*}
        f(t) := g(t-nT), \,\, t \in I_n
    \end{gather*}
    Geometrisch veranschaulicht:
            \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{direkte_forts.eps}
        \end{center}
    \item \textbf{Gerade Fortsetzung ($2T$-periodisch)}:
    $\mathbb{\mathbb{R}}$ wird in Intervalle $(2n-1)T,(2n+1)T$ (Breite $2T$)
    zerlegt und setzt zunächst $g$ durch Spiegelung auf der
    $y$-Achse auf $[-T,T)$ fort:
    \begin{gather*}
        f(t):=\begin{cases}g(t), & 0 \leq t < T\\ g(-t), & -T \leq
        T < 0\end{cases}
    \end{gather*}
    Nun wie bei direkter Fortsetzung $2T$-periodisch fortgesetzt:
    \begin{gather*}
        f(t) := f(t-2nt), \qquad (2n-1)T \leq t < (2n+1)T, n \in \mathbb{Z}
    \end{gather*}
    \newpage
    Geometrisch veranschaulicht:
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{gerade_forts.eps}
        \end{center}
    \item \textbf{Ungerade Fortsetzung ($2T$-periodisch)}:
    $g$ wird zuerst durch Spiegelung am Nullpunkt auf $[-T.T)$
    forgesetzt:
    \begin{gather*}
        f(t):=\begin{cases}g(t), & 0 \leq t < T\\ -g(-t), & -T \leq
        T < 0\end{cases}
    \end{gather*}
    Nun wie bei gerader Fortsetzung $2T$-periodisch fortgesetzt:
    \begin{gather*}
        f(t) := f(t-2nt), \qquad (2n-1)T \leq t < (2n+1)T, n \in \mathbb{Z}
    \end{gather*}
    Geometrisch veranschaulicht:
        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.3]{ungerade_forts.eps}
        \end{center}
\end{itemize}

\subsubsection{Darstellung in Sinus-Cosinus-Form oder komplex}
Meistens betrachtet man aber nur $2\pi$-periodische Funktionen
($\omega=\frac{2\pi}{T}$) und erhält dann (Sinus-Cosinus-Form):
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\end{gather*}
Alternativ zu der obigen Darstellung existiert noch eine komplexe
Darstellung, die sich oft als rechentechnisch günstig erweist:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}
für die Koeffizienten $\in \mathbb{C}$, (erhält man mit der
Euler-Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$)
\begin{gather*}
    c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2},
    c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}\\
    a_0=2c_0, a_n=c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})
\end{gather*}

Bei geraden Fortsetzungen der Periode spricht man von der
\textbf{Fourier-Cosinus-Reihe} - in diesem Fall ist $b_n=0$.

Bei ungeraden Fortsetzungen der Periode spricht man von der
\textbf{Fourier-Sinus-Reihe} - in diesem Fall ist $a_n=0$.

Mit $z= \cos x + i\cdot \sin x = e^{ix}$ erhält man:
\begin{gather*}
    \sum_{k=-N}^N e^{ikx} = 1 + 2\cos x + \dots + 2N\cos x =
    \begin{cases}2N + 1, & x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z} \\ \frac{\sin(N+\frac{1}{2})x}{\sin
    \frac{x}{2}}, & \text{sonst.}\end{cases}
\end{gather*}

\subsubsection{Orthogonalitätsrelationen}
Aus den trigonometrischen Identitäten
\begin{gather*}
    \sin(mx)\sin(nx) = \frac{1}{2}[\cos(m-n)x - \cos(m+n)x]\\
    \sin(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\sin(m+n)x + \sin(m-n)x]\\
    \cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\cos(m+n)x + \cos(m-n)x]
\end{gather*}
folgen die wichtigen Orthogonalitätsrelationen der Sinus- und
Cosinus-Funktion ($m,n \geq 0, m,n \in \mathbb{Z}$):
        \begin{gather*}
            \int_0^{2\pi} \sin (mx) \sin (nx) \operatorname{d}x =
            \begin{cases}0, & m=n=0\\ 0, & m \neq m\\  \pi, &
            m=n\neq 0\end{cases}\\
            \int_0^{2\pi} \cos (mx) \cos (nx) \operatorname{d}x =
            \begin{cases}2\pi, & m=n=0\\ 0, & m \neq m\\  \pi, &
            m=n\neq 0\end{cases}\\
            \int_0^{2\pi} \sin (mx) \cos (nx) \operatorname{d}x =
            0
        \end{gather*}

Weil die \textbf{Orthogonalitätsrelationen} (s.o.) gelten, lassen
sich die Koeffizienten eines trigonometrischen Polynoms über
Integrale bestimmen:
\begin{gather*}
    \frac{1}{T} \int_0^T e^{ik\omega t} \cdot e^{\overline{ik\omega
    t}}= \begin{cases}1, & k = n\\0, & k\neq n\end{cases} \,\,\,
    (n,k \in \mathbb{Z})
\end{gather*}

\subsubsection{Hilfreiches zum Umgang mit trigonometrischen Polynomen}
Wichtig für den Umgang mit trigonometrischen Polynomen $f$ vom
Grad $N$ ist:
\begin{enumerate}
    \item $f$ hat in $[0,T)$ höchstens $2N$ Nullstellen
    \item Koeffizientenvergleich: $f(t)=0, t \in \mathbb{R} \,
    \Leftrightarrow\, c_k = 0, -N \leq k \leq N$
    \item $f$ ist eine reelle Funktion, d.h. $f(t) \in \mathbb{R},
    t \in \mathbb{R} \,
    \Leftrightarrow\, c_k = \overline{c_{-k}}, 0 \leq k \leq N$.
    Das Poylnom kann dann wie folgt dargestellt werden
    ($a_n,b_n \in \mathbb{R}$):
    \begin{gather*}
        f(t) = \frac{a_0}{2} + \operatorname{Re}[\sum_{n=1}1^N (a_n - ib_n)e^{-in\omega t}]
    \end{gather*}
    \item Formeln von Euler-Fourier. Für $-N \leq k \leq N$, $0
    \leq n \leq N$ ist
    \begin{gather*}
        c_k = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-ik\omega r} \,
        \operatorname{d}t,\\
        a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos (n\omega t) \,
        \operatorname{d}t, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin (n\omega t) \,
        \operatorname{d}t
    \end{gather*}
    \item $f(t) \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R} \,
    \Leftrightarrow\, f(t)-\overline{f(t)} = , t \in \mathbb{R} \,
    \Leftrightarrow \, \sum_{k=-N}^N (c_ke^{ik\omega t} - c_ke^{\overline{ik\omega t}}) = 0, t \in \mathbb{R}$
    \item $\int_0^T f(t)e^{-ik\omega t} \, \operatorname{d}t =
    \sum_{k=-N}^Nc_k\int_0^Te^{in\omega t}\cdot e^{-in\omega t}\, \operatorname{d}t
    =c_n \cdot T$
\end{enumerate}

\subsection{Trigonometrische Reihen (einführend)}
Analog zum Begriff eines trigonometrischen Polynoms kann man auch
den Begriff der trigonometrischen Reihe definieren:
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos k \omega
    x+b_k\sin k \omega x)
\end{gather*}
bzw. in der komplexen Darstellung:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-\infty}^{k=\infty} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}


\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    \sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(2nt)}{(2n)!} =
    \operatorname{Re}(\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(2nt) +
    i\sin(2nt)}{(2n)!}) = \operatorname{Re}(\sum_{n=0}^\infty
    \frac{e^{i2nt}}{(2n)!}) =\\
    \operatorname{Re}(\frac{1}{2}(\underbrace{e^{e^{it}} + e^{-e^{it}}}_{\cosh(e^{it})})) =
    \operatorname{Re}(\frac{1}{2}(e^{cos(t)}\cdot e^{i\sin(t)} + e^{-cos(t)}\cdot
    e^{-i\sin(t)}))=\\
    \operatorname{Re}(\frac{1}{2}(e^{\cos(t)}(\cos(\sin(t)) + i\sin
    t + e^{-\cos(t)}(\cos(\sin(t))) + i\sin t)))) =\\
    \mathbf{\frac{1}{2}(\cos(\sin(t))\cdot(e^{\cos t} + e^{-\cos t})}
\end{gather*}



\end{document}
