Title: ADM: Algebraische Strukturen

FrontText: binäre Operation
binäre Algebraische Struktur/Gruppoid

FrontText: Abgeschlossenheit
BackText: Für alle a, b ∈ B liegt das Element a*b wieder in B.

FrontText: Assoziativgesetz

FrontText: Existenz eines neutrales Elements

FrontText: Existenz inverser Elemente

FrontText: Kommutativgesetz

FrontText: Eigenschaften der Gruppen
BackText: -algebraische Struktur
-assoziativ
-besitzt ein neutrales Element
-besitzt ein inverses Element

FrontText: Eigenschaften der Halbgruppen
BackText: -algebraische Struktur
-assoziativ

FrontText: Eigenschaften des Monoids
BackText: -algebraische Struktur
-assoziativ
-besitzt ein neutrales Element

FrontText: Untergruppe

FrontText: Linksnebenklasse
Rechtsnebenklasse
BackText: a ◦ U = {a ◦ u|u ∈ U}
U ◦ a = {u ◦ a|u ∈ U}

FrontText: Satz von Lagrange
BackText: Die Ordnung (=Anzahl der Elemente) einer Untergruppe ist immer Teiler der Gruppenordnung.

FrontText: Index
Ordnung

FrontText: Potenzen

FrontText: Normalteiler
BackText: Eine Untergruppe N einer Gruppe G heißt Normalteiler, wenn die Links-
und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.

FrontText: Gruppenhomomorphismus
Isomorphismus
BackText: ⟨G, ◦⟩, ⟨H, ⋆⟩, φ : G → H
G / kerφ ≅ φ(G) ⇔ a ◦ kerφ ≅ φ(a) Isomorphismus ist bijektiver Homomorphismus.

FrontText: Kern eines Homomorphismus
BackText: Alle Elemente der Ausgangsgruppe, die auf das neutrale Element der Zielgruppe abgebildet werden.

FrontText: Distributivgesetz
BackText: a·(b+c)= (a·b)+(a.c)

FrontText: Eigenschaften von Ringen
BackText: Eine algebraische Struktur (R, +, .) mit zwei binären Operation heißt Ring, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:
(i) (R, +) ist ein kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0), (ii) (R,·) ist eine Halbgruppe
(iii) es gelten die Distributivgesetze:
a·(b+c)= (a·b)+(a.c)
(a+b).c = (a.c) + (b.c)

FrontText: Beispiele für Ringe
BackText: • ⟨Z,+,·⟩
• ⟨Q,+,·⟩
• ⟨R,+,·⟩
• ⟨C,+,·⟩
• ⟨Zm,+,·⟩
• ⟨Rn×n,+,·⟩
• Polynome
• Formale Potenzreihe

FrontText: Polynomring
BackText: Ring mit endlich vielen Koeffizient aₙ≠0 aus R[x].

FrontText: Integritätsring
BackText: Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

FrontText: Körper
BackText: -Kommutative Ringe mit Einselement die für jedes Element≠0 ein multiplikatives Inverses besitzen, nennt man Körper.
-Jeder Körper ist Integritätsring.
-Falls Integritätsring endlich dann ist die Struktur ein Körper.

FrontText: Verband
BackText: Eine algebraische Struktur (M, ∧,∨) heißt Verband, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(i) (M,∧) ist eine kommutative Halbgruppe,
(ii) (M, ∨) ist eine kommutative Halbgruppe
(iii) es gelten die Verschmelzungsgesetze:
a = a ∧ (a ∨ b)
a = a ∨ (a ∧ b)

FrontText: Verschmelzungsgesetze
BackText: a = a ∧ (a ∨ b)
a = a ∨ (a ∧ b)

FrontText: Boolesche Algebra

FrontText: Ringideal
BackText: Ein Unterring U heißt ideal, falls
∀a∈R:a·U⊆U und U·a⊆U gilt.