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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 8, Beispiel 53}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 8, 15.12.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
08.12.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die Fourier-Reihe folgender $2\pi$-periodischer
Funktion $f(t)$:
\begin{gather*}
    f(t)=t^2, \qquad 0 \leq t < 2\pi, \qquad 2\pi-\text{periodisch
    fortgesetzt}
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Fourier-Reihen ($2\pi$-Periode)}
$f(x)$ sei eine Funktion mit der Periode $2\pi$ und durch eine
Reihe darstellbar, dann kann man transformieren zu der
Fourier-Reihe:
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))
\end{gather*}
Die Fourier-Koeffizienten kann man wie folgt berechnen:
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \operatorname{d}x,\\
    a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \operatorname{d}x,\\
    b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \operatorname{d}x,
\end{gather*}

Die komplexe Darstellung:
\begin{gather*}
    f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}
\end{gather*}
für die Koeffizienten $\in \mathbb{C}$, (erhält man mit der
Euler-Formel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$)
\begin{gather*}
    c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2},
    c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}\\
    a_0=2c_0, a_n=c_n + c_{-n}, b_n = i(c_n - c_{-n})
\end{gather*}

\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} t^2 \operatorname{d}t = \frac{4\pi^2}{3}\\
    \text{ }\\
    a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} t^2\cos(nt)
    \operatorname{d}t=\\
    a=t^2, a'=2t; \, \, b'=\cos(nt), b=\frac{\sin(nt)}{n}, \qquad
    \int ab' = ab - \int ba'\\
    =\frac{1}{\pi}(\underbrace{t^2\frac{\sin(nt)}{n}|_0^{2\pi}}_{=0} - 2\int
    t\frac{\sin(nt)}{n} \operatorname{d}t)=\\
    \frac{1}{\pi n}(-2\int_0^{2\pi} t \sin(nt) \operatorname{d}t)=\\
    c=t, c'=1; \,\, d'=\sin(nt), d=-\frac{\cos(nt)}{n}, \qquad
    \int cd' = cd - \int c'd\\
    \frac{1}{\pi n}(2t\frac{\cos(n)}{n}|_0^{2\pi} - 2\int_0^{2\pi} \cos(nt)
    \operatorname{d}t)=\\
    \frac{1}{\pi n}(2t\frac{\cos(nt)}{n}|_0^{2\pi}-
    \underbrace{2\frac{\sin(nt)}{n}|_0^{2\pi}}_{=0})=\\
    \frac{1}{\pi n^2}(4\pi\underbrace{\cos(2n\pi)}_{=1})=\frac{4}{n^2}\\
    b_n \text{ nur verkürzt dargstellt, analog wie oben zu rechnen:}\\
    b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\sin(nt)
    \operatorname{d}t=\\
    \frac{1}{\pi n}(-t^2\cos(nt)|_0^{2\pi} + 2\int
    t \cos(nt) \operatorname{d}t)=\\
    \frac{1}{\pi n^2}(-t^2n\cos(nt)|_0^{2\pi} +
    2t\sin(nt)|_0^{2\pi}-
    2\cos(nt)|_0^{2\pi})= -\frac{4\pi}{n}\\
    \text{ }\\
    c_n=\frac{4}{n^2}(1-i\cdot n)\\
    \text{ }\\
    \mathbf{S_F(t)=\frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{n^2}\cos(nt)-\frac{4\pi}{n}\sin(nt)}
\end{gather*}




\end{document}
