Title: ADM: Grundlagen

FrontText: Peanoaxiome

FrontText: Kommutativgesetz
BackText: n+m=m+n, n.m=m.n

FrontText: Assoziativgesetz
BackText: (n+m)+k=n+(m+k), (n.m).k=n·(m.k)

FrontText: Distributivgesetz
BackText: (n+m).k = n·k+m.k

FrontText: Existenz eines neutralen Elements
BackText: n+0=0+n=n, n·1= 1.n=n

FrontText: Rationale Zahlen

FrontText: Reelle Zahlen
BackText: Rationale Zahlen inklusive nicht periodische Dezimalzahlen.
R =Q ∪ I

FrontText: kartesische Koordinaten Polarkoordinaten
Z=
BackText: (a, b)
[r, φ]
Z = r(cosφ+isinφ)

FrontText: ggT(a,b)
BackText: Für alle a,b ∈ Z heißt d=ggT (a,b) ein größter gemeinsamer Teiler, wenn folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:
i. d|a und d|b
ii. Ist t gemeinsamer Teiler von a und b, d.h. t|a und t|b, dann gilt t|d auch.

FrontText: teilerfremd
BackText: Zwei ganze Zahlen a,b heißen teilerfremd, wenn ggT(a,b)=1.

FrontText: Euklidischer Algorithmus

FrontText: Primzahl
BackText: Eine natürliche Zahl p>1 heißt Primzahl, wenn die einzigen Teiler von p die Zahlen ±1 und ±p sind. Die Menge der Primzahlen wird mit P bezeichnet.

FrontText: Fundamentalsatz der Zahlentheorie
BackText: Jede natürliche Zahl a ≥ 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen.

FrontText: kongruent modulo
BackText: Zwei Zahlen a,b ∈ Z heißen kongruent modulo m, falls m ein Teiler von b - a ist.

FrontText: Restklasse a modulo m

FrontText: Die Euler'sche Φ-Funktion
BackText: Es sei m eine positive ganze Zahl. Die Anzahl der positiven ganzen Zahlen, die kleiner als m und fremdteiler mit m sind, kann mit Φ(m). bestimmt werden.

FrontText: Kleiner Satz von Fermat
BackText: Es sei p∈P, a ∈ Z⁺ und a ist keine Vielfache von P. dann gilt:

FrontText: Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten
BackText: Eine Aussage kann nur entweder wahr oder falsch sein.

FrontText: Konjunktion
BackText: "Es ist Winter, und es ist kalt."
p∧q

FrontText: Disjunktion
BackText: "Die Straße ist nass, oder es regnet. "
p∨q

FrontText: Implikation
BackText: " Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. "
p→q

FrontText: Äquivalenz
BackText: " Die Straße ist genau dann nass, wenn es regnet. "
p↔q

FrontText: Negation
BackText: "Es ist nicht Winter."

FrontText: Tautologie
Kontradiktion
erfüllbar
BackText: Eine Formel heißt gültig oder Tautologie, wenn sie für jede Belegung wahr ist.
Eine Formel heißt ungültig oder Kontradiktion, wenn sie für jede Belegung falsch ist.
Eine Formel heißt erfüllbar, wenn sie für mindestens eine Belegung wahr ist.

FrontText: DeMorgan'sche Regel

FrontText: Prädikat
BackText: Allgemein bezeichnet man P (x) als Prädikat (oder Aussageform) in der Gegenstandsvariablen x, wenn durch konkretes Einsetzen für x eine Aussage entsteht, der also ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann.

FrontText: Menge (Definition von Cantor)
BackText: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

FrontText: leere Menge
BackText: Die Menge ∅, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge.

FrontText: Teilmenge
BackText: Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, im Zeichen A⊆B, wenn jedes Element x aus A auch in B enthalten ist. Zwei Mengen A,B sind gleich, also A=B, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

FrontText: Satz (Teilmengen und Gleichung von Mengen)
BackText: Zwei Mengen A, B sind genau dann gleich, wenn sowohl A Teilmenge von B als
auch B Teilmenge von A ist, d.h.
A=B↔A⊆B∧B⊆A

FrontText: Vereinigung
BackText: Die Vereinigung A U B zweier Mengen A, B enthält genau jene Elemente x, die in A oder in B enthalten sind, d.h.
A∪B= {x I x ∈ A ∨ x ∈ B}.

FrontText: Durchschnitt
BackText: Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen A, B enthält genau jene Elemente x, die sowohl in A als auch in B enthalten sind, d.h.
A∩B= {x I x ∈ A ∧ x ∈ B}.

FrontText: Mengendifferenz
symmetrische Differenz
BackText: Die Mengendifferenz A\B zweier Mengen A, B enthält genau jene Elemente x, die in A, aber nicht in B enthalten sind, d.h.
A\B= {x I x ∈ A ∧ x ∉ B}
Die symmetrische Differenz zweier Mengen A, B ist durch
A ∆ B = (A\B) ∪ (B\A)
= (A∪B)\(A∩B)
gegeben.

FrontText: Potenzmenge
BackText: Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A, d.h.
P(A) = {C | C ⊆ A}

FrontText: kartesiche Produkt
BackText: Das kartesische Produkt A x B zweier Mengen A, B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b∈B, d.h.
A x B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }

FrontText: Relation
BackText: Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A x B. Ist A = B so spricht man von einer binären Relation.
(a, b) ∈ R oder aRb

FrontText: Äquivalenzrelationen
BackText: Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

FrontText: Reflexivität
BackText: ∀a ∈ A: aRa

FrontText: Symmetrie
BackText: ∀a,b ∈ A: aRb → bRa

FrontText: Transitivität
BackText: ∀ a,b,c ∈ A: (aRb∧bRc)→aRc

FrontText: Identische Relation oder Gleichheitsrelation
BackText: A sei eine beliebige Menge und R die
Relation ,,= ", d.h., jedes Element a E A steht nur mit sich selbst in Relation.
(a,a),(b,b),(c,c)...

FrontText: Partition oder Zerlegung

FrontText: Äquivalenzklasse
BackText: Sei Reine Äquivalenzrelation auf A. Für a ∈ A heißt die Menge
K(a) = {b ∈ A | aRb}
die von a erzeugte Äquivalenzklasse.

FrontText: Halbordnung oder partielle Ordnung
BackText: Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

FrontText: Antisymmetrie
BackText: ∀a,b ∈ A : (aRb∧bRa) → a = b

FrontText: Totalordnung
BackText: Eine Halbordnung R auf einer Menge A heißt Totalordnung, wenn für je zwei Elemente a,b∈A entweder aRb oder bRa gilt, d.h. je zwei Elemente a,b∈A sind vergleichbar.

FrontText: surjektive Funktion
injektive Funktion
bijektive Funktion