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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 1, Beispiel 5}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 20.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
12.02.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Zeige, dass $\cos x \cdot \cos y - (\sin x \cdot \sin y + y^2)
\cdot y' = 0$ eine exakte Differentialgleichung ist und löse das
AWP $y(0) = 1$.

\section{Theoretische Grundlagen: Exakte Differentialgleichungen}
Exakte Differentalgleichungen stellen eine spezielle Form der
Differentialgleichungen 1. Ordnung dar und entstehen durch
Differentiation nach der Kettenregel aus $U(x,y) = const.$. Ihre
implizite Form lautet
\begin{gather*}
    U_x(x,y) +  U_y(x,y)y' = 0,
\end{gather*}
und die explizite für $U_y \neq 0$:
\begin{gather*}
    y'=-\frac{U_x(x,y)}{U_y(x,y}
\end{gather*}
Normalerweise ist die Exaktheit einer Differentialgleichung nicht
auf den ersten Blick ersichtlich. Eine Differentialgleichung der
Form
\begin{gather*}
    A(x,y) + B(x,y)y' = 0
\end{gather*}
ist dann exakt, wenn es eine Funktion $U$ gibt, so dass gilt:
\begin{gather*}
    U_x = \frac{\partial U}{\partial x}=A, \qquad U_y = \frac{\partial U}{\partial
    y}=B
\end{gather*}
$\mathbf{U}$ ist dann die \textbf{Stammfunktion von}
$\mathbf{A(x,y) + B(x,y)y' = 0}$ (und ist nichts anderes als die
Stammfunktion des Vektorfeldes
\begin{gather*}
    (x,y) \mapsto \begin{pmatrix}
      A(x,y) \\
      B(x,y) \\
    \end{pmatrix}
\end{gather*}
Der \textbf{Exaktheitstest} ergibt für $A(x,y) + B(x,y)y' = 0$
genau dann ein positives Resultat, wenn folgende
\textbf{Integrabilitätsbedingung} erfüllt ist:
\begin{gather*}
    \frac{\partial}{y}A(x,y) = \frac{\partial}{x}B(x,y)
\end{gather*}
Allgemein lautet die \textbf{Lösungsmethode für exakte
Differentialgleichung der Form} $\textbf{A(x,y) + B(x,y)y' = 0}$:
\begin{enumerate}
    \item Bestätigen von
    \begin{gather*}
        \frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x}
\end{gather*}
    \item Bestimmung einer Stammfunktion über den Ansatz $u_x=A$,
    $U_y = B$:
    \begin{enumerate}
        \item $A$ unbestimmt nach $x$ integrieren
        \begin{gather*}
            U(x,y) = \int A(x,y) \, dx + c(y)
        \end{gather*}
        \item $y$ partiell nach $y$ differenzieren, mit $B$
        gleichsetzen:
        \begin{gather*}
            U_y(x,y) = (\int A(x,y) \, dx)_y + c'(y) = B
        \end{gather*}
        \item $c(y)$ durch Integration nach $y$ bestimmen
    \end{enumerate}
    Allgemeine implizite Lösung: $U(x,y) = const$.
    \item Implizite Lösung ist $U(x,y) = U(x_0,y_0)$ - wenn
    möglich nach $y$ auflösen und Definitionsbereich bestimmen.
\end{enumerate}

\section{Lösung des Beispiels}
\subsection{Exaktheitstest}
\begin{gather*}
    \cos x \cdot \cos y - (\sin \cdot \sin y + y^2) \cdot y' = 0
    \\
    A(x,y) = \cos x \cdot \cos y \qquad \frac{\partial A}{\partial
    y} = \cos x \cdot (-\sin y) \\
    B(x,y) = (-1)\cdot (\sin x \cdot \sin y + y^2) \qquad \frac{\partial B}{\partial
    x} = \cos x \cdot (-\sin y) \\
    \frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x}
    \qquad \Rightarrow \qquad \text{exakte DGL liegt vor}
\end{gather*}
\subsection{Bestimmung einer Stammfunktion ($U_x=A$, $U_y=B$)}
\begin{enumerate}
    \item \begin{gather*}
        U_x(x,y) = \int A(x,y) \, dx + c(y) = \int \cos x \cdot \cos
        y \, dx + c(y) = \sin x \cdot \cos y + c(y)
    \end{gather*}
    \item
    \begin{gather*}
        U_y(x,y) = (\int A(x,y) \, dx)_y + c'(y) = B(x,y) \\
        (\sin x \cdot \cos y)_y + c'(y) = -\sin x \cdot \sin y +
        y^2\\
        -\sin x \cdot \sin y + c'(y) = -\sin x \cdot \sin y +
        y^2\\
        c'(y)=y^2
    \end{gather*}
    \item
    \begin{gather*}
        c(y)' = y^2 \, \, | \int \qquad \Rightarrow \qquad c(y) =
        \frac{y^3}{3}+ c
    \end{gather*}
\end{enumerate}
Allgemeine Lösung somit:
\begin{gather*}
    \mathbf{U(x,y) = \sin x \cdot \cos y + c(y) = \sin x \cdot \cos y + \frac{y^3}{3}+ c}
\end{gather*}
\subsection{Lösung des AWPs}
\begin{gather*}
    y(0)=1 \qquad \Rightarrow \qquad \sin 0 \cdot \\cos 1 +
    \frac{1}{3} + c = 0 \qquad \Rightarrow \qquad c=-\frac{1}{3}
    \\
    \mathbf{\sin x \cdot \cos y + \frac{y^3}{3} - \frac{1}{3}}
\end{gather*}
\end{document}
