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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 2, Beispiel 12}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 27.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
25.10.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Bernoulli Dgl: y'
\begin{gather*}
    y' + y = (\cos x - \sin x)y^2
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Bernoulli-Differentialgleichung}
Die Bernoulli-Differentialgleichung hat die Form (stetige
Funktionen $a$,$b$, $\alpha \neq 0,1$):
\begin{gather*}
    y'(x) + a(x)\cdot y = b(x) \cdot y^\alpha
\end{gather*}
Sie geht nach der Multiplikation mit $(1-\alpha)\cdot y^{-\alpha}$
und der Substitution
\begin{gather*}
    \eta(x) = y(x)^{1-\alpha}
\end{gather*}
wegen $\eta' = (1 - \alpha)\cdot y^{-\alpha}\cdot y'$ inf folgende
lineare Differentialgleichung über:
\begin{gather*}
    \eta' + (1-\alpha)\cdot a(x) \cdot \eta = (1 - \alpha) \cdot b(x)
\end{gather*}
Die allegemeine Lösung $\eta = \eta(x)$ ist zu bestimmen und die
Substitution mittels
\begin{gather*}
    y(x) = \eta(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung}
Für inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung in der
Form
\begin{gather*}
    y' + f(x) \cdot y = s(x)
\end{gather*}
gilt: Die allgemeine Lösung ist die Summe aus der Lösung der
zugehörigen homogenen Differentialgleichung und einer partikulären
Lösung der zugehörigen inhomogenen Differentialgleichung.

\begin{enumerate}
    \item Integration der zugehörigen homogenen Differentialgleichung
    \begin{gather*}
        y' + f(x) \cdot y = 0
    \end{gather*}
    Zunächst Trennung der Veränderlichen, dann Integration.
    Allgemeine Lösung ist schließlich (auch logarithmische Schreibweise möglich):
    \begin{gather*}
        y = c \cdot e^{-\int f(x) \, dx}, \qquad c \in \mathbb{R}
    \end{gather*}
    \item Integration der zugehörigen inhomogenen Differentialgleichung

    Die aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung
    gewonnene Integrationskonstante $c$ wird durch die Funktion
    $c(x)$ ersetzt, so dass man den Lösungsansatz
    \begin{gather*}
        y = c(x) \cdot e^{-\int f(x) \, dx}
    \end{gather*}
    erhält und diesen in die inhomogene Differentialgleichung
    einsetzt. Die so entstehende Differentialgleichung 1. Ordnung
    ist durch unbestimmte Integration direkt gelöst werden.
    \item Summe aus der Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und einer partikulären
    Lösung der zugehörigen inhomogenen Differentialgleichung berechnen
\end{enumerate}

Eine andere Möglichkeit zur Lösung besteht in der
\textbf{Verwendung einer Formel}: Lineare inhomogene
Differentialgleichungen 1. Ordnung in der Form $y' + p(x)y = r$
($r$ ist Störfunktion, singulär oder nur von $x$ abhängig) können
mit folgender Formel aufgelöst werden:
\begin{gather*}
    h = \int p(x) \, dx \\ y(x) = e^{-h} (\int e^hr \, dx + c)
\end{gather*}
(Quelle: Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9.Aufl.,
S.26ff.)

Die Formel hat mir schon gute Dienste zur Kontrolle geleistet und
ich kann sie mittlerweile auch auswendig

\section{Theoretische Grundlagen - partielle Integration}
Wenn $u(x)$und $v(x)$ in $[a;b]$ stetig differenzierbar sind, so
gilt dort:
\begin{gather*}
    \int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x)
    \cdot v(x) \, dx
\end{gather*}


\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    y' + y = (\cos x - \sin x)y^2 \\
    a(x) = 1, \qquad b(x) = \cos x - \sin x, \qquad \alpha=2\\
    \eta + (1-2)\cdot 1 \cdot \eta = (1-2)\cdot(\cos x - \sin x)
    \\
    \eta' - \eta = \sin x - \cos x\\
\end{gather*}

\subsection{Lösung nach der 'Standardmethode'}
\begin{gather*}
    \eta_h(x) = c \cdot e^{\int 1 \, dx} = c\cdot e^x\\
    \eta_p(x) = c(x)\cdot e^x = \int \frac{\sin x - \cos x}{e^x} \,
    dx = -\sin x \\
    \text{ }\\
    \text{partiell integrieren}: \qquad \int e^{-x}\cdot (\sin x - \cos
    x) \, dx =   \\
    -e^{-x}(\sin x - \cos x) - \int -e^{-x}\cdot (\sin x + \cos
    x) \, dx = \\
    -e^{-x}(\sin x - \cos x) - e^{-x}(\sin x - \cos x) - \int -e^{-x}\cdot (-\sin x + \cos
    x) \, dx \\
    \Rightarrow \qquad 2\cdot c(x) = -e^{-x}\sin
    x\\
    \text{ }\\
    \eta_p(h) = \eta_h(x) \cdot c(x) = e^x \cdot -e^{-x}\sin
    x = -\sin x \\
    \mathbf{\eta(x) = \eta_h(x) + \eta_p(x) = c\cdot e^x - \sin x}
\end{gather*}
Rücksubstitution
\begin{gather*}
    \mathbf{y(x)} = \eta(x)^{\frac{1}{1-\alpha}} = \eta^{-1} = \mathbf{\frac{1}{c\cdot e^x - \sin x}}
\end{gather*}

\subsection{Lösung nach der 'Formel'}
\begin{gather*}
    \eta' - \eta = \sin x - \cos x\\
    p = -1, \qquad r = \sin x - \cos x, \qquad h = \int p \, dx =
    -x\\
    \eta(x) = e^{x}\cdot(\int e^{-x}\cdot (\sin x - \cos x) \, dx +
    c)=e^x \cdot (-e^{-x}\cdot \sin x + c) = -\sin x + e^x\cdot c
\end{gather*}
Rest s.o.
\end{document}
