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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 1, Beispiel 7}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 1, 20.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
12.02.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man ermittle f{\"u}r die Differentialgleichung
\begin{gather*}
    4 - 4x^2 - y^2 - 3xyy' = 0
\end{gather*}
einen nur von $x$ abh{\"a}ngenden integrierenden Faktor $m(x)$, der
diese Differentialgleichung in eine exakte Diffeentialgleichung
{\"u}berf{\"u}hrt und gebe die allgemeine L{\"o}sung der Differentialgleichung
an.

\section{Theoretische Grundlagen: Integrierender Faktor}
Eine nicht exakte Differentialgleichung in der Form
\begin{gather*}
    A(x,y) + B(x,y)y' = 0
\end{gather*}
geht durch die Multiplikation mit einer Funktion $M(x,y)$ in die
exakte Differntialgleichung
\begin{gather*}
    M(x,y) \cdot A(x,y) + M(x,y) \cdot B(x,y)y' = 0
\end{gather*}
{\"u}ber. $M(x,y)$ ist der \textbf{integrierende Faktor} oder
\textbf{Euler-Multiplikator}.

Allgemein lautet der L{\"o}sungsweg f{\"u}r $A(x,y) + B(x,y)y' =
0$ mit integrierendem Faktor vom Typ $M(x,y) = m(u(x,y))$:
\begin{enumerate}
    \item Berechnung von $A_y - B_x$. Wenn $0$ herauskommt, dann
    liegt eine exakte Differentialgleichung vor, die wie gehabt
    gel{\"o}st werden kann. (siehe 2.2.)
    \item Wenn $u(x,y)$ nicht explizit vorgegeben so versuchen wir
    ausgehend von folgender Konstellation:
    \begin{gather*}
        A(x,y) + B(x,y)y'=0
    \end{gather*}
    \begin{itemize}
        \item Wir prüfen, ob
              \begin{gather*}
                \frac{A_y - B_x}{B}
              \end{gather*}
              nur von $x$ abhängt. Sollte das der Fall sein,
              setzen wir
              \begin{gather*}
                \mu_x=\frac{A_y - B_x}{B}\mu
              \end{gather*}
              und erhalten als Lösung dieser Differentialgleichung
              einen nur von $x$ abhängigen integrierenden Faktor
              $\mu$.
        \item Wir prüfen, ob
              \begin{gather*}
                \frac{A_y - B_x}{A}
              \end{gather*}
              nur von $y$ abhängt. Sollte das der Fall sein,
              setzen wir
              \begin{gather*}
                \mu_y=\frac{A_y - B_x}{A}\mu
              \end{gather*}
              und erhalten als Lösung dieser Differentialgleichung
              einen nur von $y$ abhängigen integrierenden Faktor
              $\mu$.
        \item Sollte keiner der beiden o.g. Punkte zutreffen, so
            bleibt nur die  Auswahl    verschiedener Funktionen $u(x,y)$ und dazu Berechnung von
            \begin{gather*}
                H(x,y) := \frac{Ay-Bx}{BU_x - Au_y}
            \end{gather*}
            Wenn $H(x,y)=h(u(x,y))$ weiter mit n{\"a}chstem Schritt, ansonsten
            anderes $u(x,y)$ w{\"a}hlen.

            Standard-Ans{\"a}tze f{\"u}r $u(x,y)$:

                \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|c|}
                \hline
                $\mathbf{u(x,y)}$ & $\mathbf{H(x,y)}$ \\
                \hline
                $x$ & $\frac{A_y - B_x}{B}$ \\
                \hline
                $y$ & $\frac{A_y - B_x}{-A}$ \\
                \hline
                $x+y$ &$\frac{A_y-B_x}{B-A}$  \\
                \hline
                $x-y$ &$\frac{A_y-B_x}{B+A}$ \\
                \hline
                $xy$ &$\frac{A_y-B_x}{yB-yA}$ \\
                \hline
                $y^2 + y^2$ & $\frac{1}{2} \cdot \frac{A_y-B_x}{xB-yA}$ \\
                \hline
                $x^2 - y^2$ & $\frac{1}{2} \cdot \frac{A_y-B_x}{xB+yA}$ \\
                \hline
                \end{tabular}
                \end{center}
    \end{itemize}
    \item Berechne $m(u)=e^{\int h(u) \, du}$. $M(x,y) = m(u(x,y))$
    ist der Euler-Multiplikator
    \item L{\"o}sung der exakten Differentialgleichung $M(x,y) \cdot A(x,y) + M(x,y) \cdot B(x,y)y' = 0$
\end{enumerate}


\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\subsection{Exaktheitstest ('original'-Funktion)}
\begin{gather*}
    A = 4 - 4x^2 - y^2,  \qquad \frac{\partial A}{\partial y} = -2y \\
    B = -3xy \qquad \frac{\partial B}{\partial x} = -3y\\
    \frac{\partial A}{\partial y} \neq \frac{\partial B}{\partial x}
\end{gather*}

\subsection{Euler-Multiplikator finden und Exaktheitstest}
Standardansatz f{\"u}r $m(x)=x$:
\begin{gather*}
    m(x) = e^{\int \frac{A_y - B_x}{B} \, dx}
\end{gather*}
$\frac{A_y - B_x}{B}$ darf lt. Angabe nur von $x$ abh{\"a}ngig sein:
\begin{gather*}
    \frac{A_y - B_x}{B} = \frac{-2y + 3y}{3xy} = \frac{1}{3x}
    \qquad \checkmark \, \, \text{nur von x abh.} \\
    m(x) = e^{\int \frac{1}{3x} \, dx} = e^{\frac{^-1}{3\ln x}} =
    \frac{1}{\sqrt[3]{e^{\ln x}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \qquad (e^{\ln x} = x)\\
\end{gather*}
Exaktheitstest mit 'neuer' Funktion:
\begin{gather*}
    A=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot (4-4x^2-y^2) \qquad \frac{\partial A}{\partial y} =
    -\frac{2y}{\sqrt[3]{x}}\\
    B=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot(-3xy) \qquad \frac{\partial B}{\partial x}
    = -\frac{2y}{\sqrt[3]{x}}\\
    \frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x} \checkmark
\end{gather*}

\subsection{L{\"o}sung der nun exakten Differentialgleichung}
\begin{gather*}
    \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot (4-4x^2-y^2) +
    \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot(-3xy)y' = 0 \\
    U_x= A, U_y = B \\
    U(x,y) = \int A(x,y) \, dx + c(y) = \int  \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot (4-4x^2-y^2) \,
    dx + c(y) = \\
    \int 4x^{-\frac{1}{3}} - 4x^{\frac{5}{3}} - x^{-\frac{1}{3}} \, dx + c(y) =
    6x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{8}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}y^2 + c(y) \\
    U_y(x,y) = (6x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{8}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}y^2)_y + c'(y) =
    -3x^{\frac{2}{3}}y\\
    3x^{\frac{2}{3}}y + c'(y) = -3x^{\frac{2}{3}}y \qquad
    \Rightarrow \qquad c'(y) = -6x^{\frac{2}{3}}y \qquad | \, \int \\
    c(y) = -3^{\frac{2}{3}}y^2 \\
    6x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{8}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}y^2 - 3x^{\frac{2}{3}}y + c =
    0\\
    \mathbf{6x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}y^2 + c=0}
\end{gather*}
\end{document}
