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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 3, Beispiel 21}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 3, 03.11.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
30.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die allgemeine L{\"o}sung der folgenden
Differentialgleichung durch einen Potenzreihenansatz um $x = 1$:
\begin{gather*}
    xy' - y - x - 1 = 0
\end{gather*}

\subsection{Theoretische Grundlagen: Potenzreihenansatz zur L{\"o}sung von Differentialgleichungen}
Es liegt eine Differentialgleichung in folgender Form vor:
\begin{gather*}
    F(x,y,y',\dots,y^{(n)}=0,
\end{gather*}
und wir nehmen an, dass die L{\"o}sung $x_0 = x$ in eine Potenzreihe
entwickelbar ist, d.h.:
\begin{gather*}
    y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x - x_0)^n
\end{gather*}
Die Bestimmung der Koeffizienten $a_1, a_2, \dots, a_n$ kann auf
zwei Arten erfolgen:

\subsection{Fortgesetzte Differentiation}
Ausgangspunkt ist das AWP
\begin{gather*}
    y'=f(x,y), \qquad y(x_0) = y_0
\end{gather*}
Mit der Taylor-Formel gilt:
\begin{gather*}
    a_m = \frac{y^{(n)}(x_0)}{n!},
\end{gather*}
Durch fortgesetzte Differentiation der Gleichung $y'(x) =
f(x,y(x))$ bei $x=x_0$ (Kettenregel) bestimmt man nacheinander die
Koeffizienten:
\begin{gather*}
    a_0 = y(x_0) = y_0 \\
    a_1 = y'(x_0) = f(x_0,y_0)\\
    2!a_2 = y''(x_0) = f_x(y_0,y_0) + f_y(x_0,y_0)y'(x_0)\\
    3!a_3 = y'''(x_0) = [f_{xx} + f_{xy}y' + (f_{yx} + f_{yy})y' +
    f_yy'']_{x_0,y_0}\\
    \vdots
\end{gather*}

\subsection{Koeffizizentenvergleich}
\begin{enumerate}
    \item Ableitungen bilden:
    \begin{gather*}
        y'(x) = \sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot
        (x-x_0)^{n-1}\\
        y''(x) = \sum_{n=0}^\infty n \cdot (n-1) \cdot a_n \cdot
        (x-x_0)^{n-2}
    \end{gather*}
    \item Potenzen von $y(x)$ (($y(x))^2,(y(x))^3,\dots$) nach der
    Cauchy-Produktformel entwickeln:
    \begin{gather*}
        f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n\cdot (x-x_0)^n, \qquad g(x) = \sum_{n=0}^\infty g_n\cdot
        (x-x_0)^n\\
        h(x) := f(x) \cdot g(x) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{h_n}_{h_n=\sum_{k=0}^\infty f_k \cdot g_{n-k}}\cdot
        (x-x_0)^n
    \end{gather*}
    \item Reihenentwicklung in Differentialgleichung einsetzen und
    nach Potenzen von $(x-x_0)^n$ ordnen. Dann die Koeffizienten
    von $(x-x_0)$ vergleichen, d.h. $F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0$
    setzen.

    $\Rightarrow \,$ Gleichungssystem (unendlich dimensional) f{\"u}r
    $a_0, a_1, \dots$.

    Die Reihenentwicklung wird unter Annahme einer guten
    Approximation abgebrochen.
\end{enumerate}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
Berechnen zunächst die Lösung der $xy' - y - x - 1 = 0$
zugehörigen homogenen DGL - diese ist $y=x\ln x$.

Wir beachten:
\begin{gather*}
    y(x)=\sum_{n \geq 0} a_n(x-1)^n\\
    y'(x)=\sum_{n \geq 1} na_n(x-1)^{n-1} = \sum_{n \geq 0}
    (n+1)a_{n+1}(x-1)^n
\end{gather*}

Wir setzen ein:
\begin{gather*}
    (x-1)y' + y' - y + x + 1 - 2 = 0\\
    \sum_{n \geq 0} (n+1)a_{n+1}(x-1)^{n+1} + \sum_{n \geq 0}
    (n+1)a_{n+1}(x-1)^n - \sum_{n \geq 0} a_n(x-1)^n - (x-1) - 2 =
    0
\end{gather*}
\begin{gather*}
    [y^0] \qquad 1a_1 - a_0 -2 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad a_1 =
    a_0 + 2\\
    [y^1] \qquad 1a_1 + 2a_2 - a_1 - 1 = 0\\
    n>1 \,\, [y^n] \qquad na_n + (n+1)a_{n+1} - a_n = 0 \qquad \Rightarrow
    \qquad(n+1)a_{n+1}?-(n-1)a_n
\end{gather*}
Mittels Rekursion ausrechnen;
\begin{gather*}
    a_1 = a_0 + 2 \\
    a_2 = \frac{1}{2}\\
    a_{n+1}=\frac{-(n-1)}{n+1}a_n = \frac{-(n-1)}{n+1}
    \frac{-(n-2)}{n}a_{n-1} = \frac{-(n-1)!(-1)^{n-1}}{n+1}a_2 = \frac{a_2
    (-1)^{n-1}}{(n+1)n}a_2= \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)n}
\end{gather*}
Lösung dann:
\begin{gather*}
    y(x) = x\ln x + \dots
\end{gather*}
\end{document}
