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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 2, Beispiel 13}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 27.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
27.10.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Man löse das Anfangswertproblem $y(1) = 1$ für folgende
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung:
\begin{gather*}
    y' = \frac{y(y+z)}{x^2}
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Bernoulli-Differentialgleichung}
Die Bernoulli-Differentialgleichung hat die Form (stetige
Funktionen $a$,$b$, $\alpha \neq 0,1$):
\begin{gather*}
    y'(x) + a(x)\cdot y = b(x) \cdot y^\alpha
\end{gather*}
Sie geht nach der Multiplikation mit $(1-\alpha)\cdot y^{-\alpha}$
und der Substitution
\begin{gather*}
    \eta(x) = y(x)^{1-\alpha}
\end{gather*}
wegen $\eta' = (1 - \alpha)\cdot y^{-\alpha}\cdot y'$ inf folgende
lineare Differentialgleichung über:
\begin{gather*}
    \eta' + (1-\alpha)\cdot a(x) \cdot \eta = (1 - \alpha) \cdot b(x)
\end{gather*}
Die allegemeine Lösung $\eta = \eta(x)$ ist zu bestimmen und die
Substitution mittels
\begin{gather*}
    y(x) = \eta(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}
\end{gather*}

\section{Lösung des Beispiels}
\begin{gather*}
    y' = \frac{y^2}{x^2} + \frac{yx}{x^2} = \frac{y^2}{x^2} +
    \frac{y}{x}\\
    v(x) = \frac{y(x)}{x} \qquad \Rightarrow \qquad y = xv \qquad \Rightarrow
    \qquad y' = v + xv'\\
    v+xv' = v^2 + v \qquad \Rightarrow \qquad v' =
    \frac{1}{x}v^2\\
    u(x) = v^{-1}\frac{1}{x}\\
    u' = -\frac{1}{x} \qquad \Rightarrow \qquad u(x) = -\ln|x|+C \qquad \Rightarrow
    \qquad v(x) = - \frac{1}{\ln|x| + C}\\
    y(x) = - \frac{x}{\ln|x| + C}, \qquad y(1) = 1 \qquad \Rightarrow
    \qquad C = -1\\
    \mathbf{y(x) = - \frac{x}{\ln|x| - 1}}
\end{gather*}
\end{document}
