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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 3, Beispiel 16}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 3, 03.11.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
30.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Ein elektrischer Schwingkreis enth{\"a}lt einen Widerstand $R$ mit $8$
Ohm, der mit einer Induktion $L$ von $0.5$ Henry und einer
Batterie von $E = E(t)$ Volt in Reihe geschaltet ist. Bei $t = 0$
ist der Strom gleich Null. Berechne den Strom $I = I(t)$ zu einer
beliebigen Zeit $t > 0$ und den maximalen Strom, wenn

(a) $E = E(t) = 64$,

(b) $E = E(t) = 32e^{-8t}$.

Hinweis: Es muss gelten, dass die Summe der Spannungsabf{\"a}lle im
Schwingkreis = 0 ist (Batterie: negativer Abfall). Der
Spannungsabfall beim Widerstand ist $RI$ und bei der Induktion
$L\frac{dI}{dt}$.

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\subsection{a}
\subsubsection{Mein Lösungsvorschlag}
Wenn die Summe der Spannungsabf{\"a}lle im gesamten
Schwingkreis $0$ ist, so kann dies durch die folgende
Differentialgleichung modelliert werden:
\begin{gather*}
    R \cdot I(t) + L\frac{\partial I}{\partial t} = E(t)
\end{gather*}
Zun{\"a}chst pringen wir die Differentialgleichung auf eine g{\"u}nstigere
Form:
\begin{gather*}
    I' + I \cdot \frac{R}{L} = \frac{E(t)}{L}
\end{gather*}
Eine M{\"o}glichkeit zur L{\"o}sung besteht in der \textbf{Verwendung
einer Formel}: Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1.
Ordnung in der Form $y' + p(x)y = r$ ($r$ ist St{\"o}rfunktion,
singul{\"a}r oder nur von $x$ abh{\"a}ngig) k{\"o}nnen mit folgender Formel
aufgel{\"o}st werden:
\begin{gather*}
    h = \int p(x) \, dx \\ y(x) = e^{-h} (\int e^hr \, dx + c)
\end{gather*}
(Quelle: Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9.Aufl.,
S.26ff.)

Es gilt daher:
\begin{gather*}
    p = \frac{R}{L}, \qquad r = \frac{E(t)}{L}, h = \int p(t)
    \,\,\, dt = \frac{R}{L} \cdot t\\
    I(t) = e^{-\frac{R}{L} \cdot t} \cdot (\int e^{\frac{R}{L} \cdot t} \, \, \, dt \cdot \frac{E(t)}{L} + c)\\
    I(t) = \frac{E(t)}{R} + \frac{c}{e^{\frac{R}{L}\cdot t}}
\end{gather*}
Die spezielle L{\"o}sung ergibt sich aus dem AWP $I(0)=0$:
\begin{gather*}
    0 = \frac{E(t)}{R} + c \qquad \Rightarrow \qquad c =
    -\frac{1}{\frac{R}{L}}\\
    I(t) = \frac{E(t)}{R} - \frac{L}{R\cdot e^{\frac{R}{L} \cdot \frac{R}{L}\cdot t}}
\end{gather*}

Berechnng von $I(t)$ wenn $E = E(t) = 64$:
\begin{gather*}
    I(t) ) \frac{64}{8} - \frac{0.5}{8 \cdot e^{16\cdot 64}} \approx 8
\end{gather*}

8 Ampere Maximum.

\subsubsection{Lösung aus der Übung}
\begin{gather*}
    U=IR + L\frac{\operatorname{d}I}{\operatorname{d}t}\\
    I - \frac{U}{R}= -\frac{L}{R}\frac{\operatorname{d}I}{\operatorname{d}t}
\end{gather*}
(Trennbare DGL)
\begin{gather*}
    \int \frac{\operatorname{d}I}{I - \frac{U}{R}} = -\int
    \frac{R}{L}\operatorname{d}t\\
    c_1 + \ln(I-\frac{U}{R})= c_2 - \frac{R}{L}t\\
    \ln(I-\frac{U}{R}) = ln e^{-\frac{R}{C}t}
\end{gather*}
Es gilt: $I(0)=0$:
\begin{gather*}
    0=\frac{U}{R} = C e^{-\frac{R}{L}0} \qquad \Rightarrow \qquad
    C = -\frac{U}{R}\\
    I(t) = \frac{U}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}\\
    I(t)_{max}=8A
\end{gather*}

\subsection{b}
\begin{gather*}
    E(t)=32e^{-8t}\\
    IL + IR = E(t)=32e^{-8t}
    I(t) = 8(e^-{8t}-e^{-16t})\cdot c
\end{gather*}
Ergibt schließlich $t=\frac{\ln 2}{8}$


\end{document}
