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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 2, Beispiel 9}}

\Large{LVA 118.181, Übungsrunde 1, 27.10.}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
25.10.2006}
\end{center}

\section{Angabe}
Bestimmen Sie die vollständige Lösung der Differentialgleichung
\begin{gather*}
    (x^2-1)y'=y
\end{gather*}
Für welche Anfangswerte von $(x_0,y_0)$ ist das zugehörige AWP
$y(x_0) = x_0$ nicht oder nicht eindeutig lösbar? Welche
Vorraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes sind dabei
verletzt?

\section{Theoretische Grundlagen: Trennbare Differentialgleichungen}
Ergibt sich (eventuell nach Umformung) eine Differentialgleichung
in der Form
\begin{gather*}
    y' = f(x) \cdot g(x),
\end{gather*}
welche stetige, auf den Intervallen $I \subseteq \mathbb{R} (x,x_0
\in I)$ und $J \subseteq \mathbb{R} (y,y_0 \in J)$ stetig
definierte Funktionen $f$ und $g$ besitzt, sind zwei Fälle zu
unterscheiden:
\begin{enumerate}
    \item $g(y) \neq 0$ - durch \textbf{Trennung der Variablen
    (Veränderlichen)} ergibt sich eine exakte
    Differentialgleichung in der Form:
    \begin{gather*}
        f(x) - \frac{1}{g(y)}\cdot y' = 0
    \end{gather*}
    und der Stammfunktion ($x,x_0 \in I$, $y,y_0 \in J$):
    \begin{gather*}
        U(x,y) = \int_{x_0}^{x} f(\xi) \, d\xi - \int_{y_0}^{y} \frac{d\eta}{g(\eta)}
    \end{gather*}
    \item $g(\eta) = 0, \eta \in J$ - es gilt: $y(x) = \eta$, $x
    \in I$ ist eine konstante Lösung.
\end{enumerate}
Für trennbare Differentialgleichungen ($x_0 \in I$, $y_0 \in J$)
besagt der \textbf{Existenz- und Eindeutigkeitssatz}, dass das
Anfangswertproblem
\begin{gather*}
    y'= f(x) \cdot g(x), \qquad y(x_0) = y_0,
\end{gather*}
lokal eindeutig lösbar ist wenn gilt:
\begin{enumerate}
    \item $g(y_0) \neq 0$, oder
    \item $|g(y)| < L \cdot |y-y0|$ in einer Umgebung von $y_0$,
    $L > 0$ konstant (\texttt{Lipschitz}).
\end{enumerate}
Das \textbf{Lösungsverfahren} für $y' = f(x) \cdot g(x)$ lautet
allgemein:
\begin{enumerate}
    \item Sämtliche Nullstellen von $\eta \in J$ bestimmen - $y(x)
    = \eta$ ist jeweils eine partikuläre Lösung
    \item Trennung der Variablen ('y, dy nach links; x, dx nach
    rechts')
    \begin{gather*}
        \frac{1}{g(y)} \, dy = f(x) \, dx
    \end{gather*}
    \item Unbestimmte Integration beider Seiten:
    \begin{gather*}
        G(y) \, := \, \int \frac{dy}{g(y)}, \qquad F(x) \, := \, \int
        f(x) \, dx.
    \end{gather*}
    Allgemeine implizite Lösung lautet:
    \begin{gather*}
        G(y) - F(x) = x, \qquad c \in \mathbb{R}.
    \end{gather*}
    \item Anfangswertproblemlösung: Wenn $g(y_0) \neq 0, c_0 :=
    G(y_0) - F(x_0)$. Soferne möglich $ G(y) - F(x) = c-0$ nach
    $y$ auflösen.

    Wenn $g(y_0) = 0$, dann ist $y(x) = y_0$ die Lösung.
\end{enumerate}

\section{Theoretische Grundlagen: Partialbruchzerlegung}
Eine echt gebrochenrationale Funktion $f(x)=\frac{p_m(x)}{q_n(x)}$
kann unter Verwendung der Linearfaktorenzerlegung des
Nennerpolynoms mit
\begin{align}
    q_n(x) = (x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot \dots \cdot (x-x_n)
\end{align}
in die Partialbruchdarstellung
\begin{gather*}
    f(x) = \frac{p_m(x)}{q_n(x)} = \frac{A_1}{x-x_1} +
    \frac{A_2}{x-x_2}+ \dots + \frac{A_n}{x-x_n}
\end{gather*}
überführt werden. Im allgemeinen Fall fhrt die Zerlegung in
Linearfaktoren auf Terme der Form
\begin{gather*}
    (x-x_i)^n \qquad \text{bzw} \qquad (x^2 + px + q)^n \, \,
    \text{mit } \, n \geq 1.
\end{gather*}
Dabei sind die Terme jeweils $n$ mal zu berücksichtigen. Der
Partialbruchansatz lautet jeweils
\begin{gather*}
    \frac{A_i}{x-x_i} + \frac{A_{i+1}}{(x-x_i)^2} + \dots +
    \frac{A_{i+n-1}}{(x-x_i)^n}\\
    \frac{A_i + A_{i+1}}{x^2 + px + q} + \frac{A_{i+2} + A_{i+3}}{(x^2 + px + q)^2} + \dots +
    \frac{A_{i+2(n-1)} + A_{i+2n-1}}{(x^2 + px + q)^n}
\end{gather*}
Der Partialbruchansatz für $f(x)$ ergibt sich aus der Summe der
Partialbruchansätze aller Linearfaktoren.

Die Bestimmung der Koeffizienten $A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_n$ erfolgt
z.B. durch die \textbf{Methode des Koeffizientenvergleichs}.
\begin{enumerate}
    \item Zerlegung des Nenners $q(x)$ in Linearfaktoren
    \item Aufstellen des Partialbruchansatzes von $f(x)$ wie oben
    angeführt
    \item Gleichsetzen der Ausgangsfunktion $f(x)$ mit dem
    Partialbruchansatz und Erweitern der Gleichung mit $q(x)$
    \item Ausmultiplizieren des Partialbruchansatzes und Sortieren
    der Potenzen nach $x$
    \item Aufstellen der Bestimmungsgleichungen der Koeffizienten
    $A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_n$durch Gleichsetzen der Koeffizienten
    beider Seiten der Gleichung gleicher Potenzen von $x$.
\end{enumerate}

\section{Lösung des Beispiels}
\subsection{Umformung für Trennung der Variablen}
\begin{gather*}
    (x^2-1)y'=y \\
    \frac{y'}{y} = \frac{1}{x^2-1}
\end{gather*}

\subsection{Unbestimmte Integration beider Seiten}
Integration der linken Seite:
\begin{gather*}
    \int \frac{dy}{y} = \ln|y|
\end{gather*}
Integration der rechten Seite:
\begin{gather*}
    \int \frac{1}{x^2-1} \, dx = \int \frac{1}{(x+1)\cdot(x-1)}
\end{gather*}
Entweder man führt die Partialbruchzerlegung durch und erhält:
\begin{gather*}
    \frac{1}{2} \cdot \int (- \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}) \, dx
    = \frac{1}{2} \cdot \ln \frac{x-1}{x+1} + \tilde{C}
\end{gather*}
Oder man betrachtet die folgende Regel und formt entsprechend um
($x$ und $1$ vertrauscht!):
\begin{gather*}
    \int \frac{1}{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + x}{1 -
    x}+ c
\end{gather*}
Das Endergebnis ist dann (Allgemeine Lösung):
\begin{gather*}
    \mathbf{y(x) = C \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}
\end{gather*}

\subsection{Anfangswerte, die mit EE-Satz kollidieren}
\begin{enumerate}
    \item Nicht lösbar für $(1,y\leq 0)$ bzw. $(-1,y_0)$
    \item $y'=f(x,y)$ ist nicht stetig bei $x_0=1$ und $x_0=-1$
\end{enumerate}

\end{document}
