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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 11, Beispiel 73}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 11, 26.01.2007 (entfallen)}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
30.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Man bestimme die allgemeine L{\"o}sung f{\"u}r $u(x, y)$ der PDG

\begin{gather*}
    9u_{xx} - \frac{1}{4}u_{yy} = \sin x
\end{gather*}

Bemerkung: Siehe L{\"o}sung der eindimensionalen Wellengleichung.

\section{Theoretische Grundlagen: Eindimensionale Schwingungsgleichung (Wellengleichung)}
        \begin{gather*}
            u_{tt} = c^2u_{xx} = f(x,t)
        \end{gather*}
        $u_{tt}$ ist Auslenkung (Elongation) der Saite zum
        Zeitpunkt $t$ an der Stelle $x$.

        $c^2$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.

        $f(x,t)$ bezeichnet den Einfluss der {\"a}usseren Kr{\"a}fte.\\

        Geeignete Substitution: $\xi = x - ct$, $\tau=x + ct$.
        Daraus folgt weiter: $x = \frac{\xi + \tau}{2}$, $t = \frac{\xi -
        \tau}{2}$:
        \begin{gather*}
            U(\xi,\tau)=u(\frac{\xi + \tau}{2}, \frac{\xi -
            \tau}{2})=u(x,t)\\
            F(\xi,\tau)=f(x,t)\\
            U_t = U_\xi \cdot \xi_t + U_\tau \cdot \tau_t=
            U_\xi(-x) + U_\tau c = -cU_\xi + cU_\tau\\
            u_{tt}=(-cU_\xi + cU_\tau) = - c(U_{\xi\xi}\xi_t +
            U_{\tau\xi}\tau_t)+c(c(U_{\tau\xi}\xi_t +
            U_{\tau\tau}\tau_t))=\\
            -c(U_{\xi\xi}(-c) + U_{\tau\xi}c) + (U_{\tau\xi}(-c) +
            U_{\tau\tau}c)= c^2(U_{\xi\xi} -
            2U_{\tau\xi}+U_{\tau\tau})\\
            U_x = U_\xi\xi_x + U_\tau\tau_x = U_\xi + U_\tau\\
            U_{xx}= U_{\xi\xi}\xi_x + U_{\tau\tau}\tau_x +
            U_{\tau\xi}\xi_x + U_{\tau\tau}\tau_x=U_{\xi\xi} +
            2U_{\tau\xi}+U_{\tau\tau}\\
            F(\xi,\eta) = u_{tt} - c^2u_{xx} = c^2(U_{\xi\xi} -
            2U_{\xi\tau} + U_{\tau\tau}) - c^2(U_{\xi\xi} + 2U_{\xi\tau} U
            I_{\tau\tau})= -4c^2U_{\xi\tau}\\
            \Rightarrow U_{\xi\tau}=-\frac{1}{4c^2}F(\xi,\tau)
        \end{gather*}
        Dies ist eine gew{\"o}hnliche DGL:
        \begin{gather*}
            \Rightarrow U(\xi,\tau)=-\frac{1}{4c^2} \int \int
            F(\xi,\tau) \operatorname{d}\xi\operatorname{d}\tau
        \end{gather*}
        Dies ergibt eine Partikul{\"a}rl{\"o}sung. Die allgemeine L{\"o}sung
        setzt sich aus der L{\"o}sung der zugeh{\"o}rigen homogenen DGL
        und einer Partikul{\"a}rl{\"o}sung zusammen (Summe).
        \begin{gather*}
            U_{\xi\tau} = 0 \Rightarrow \, \int
            \operatorname{d}\tau \, \Rightarrow U_\xi )
            \breve{\psi}(\xi)\\
            \Rightarrow \int \breve{\psi}\operatorname{d}\xi +
            \varphi(\tau)= U(\xi,\tau) = \varphi(\tau) +
            \psi(\xi)\\
            u(x,t) = \varphi(x+ct) + \psi(x-ct)
        \end{gather*}
        Das ist die L{\"o}sungsformel von d'Alembert ({\"U}berlagerung zweier
        gegenl{\"a}ufiger Wellen).

\subsection{L{\"o}sung des Beispiels}
Nach den obenstehenden Formeln erh{\"a}lt man f{\"u}r die zugeh{\"o}rige
partikul{\"a}re L{\"o}sung
\begin{gather*}
    u_p = -\frac{1}{9} \sin(t)
\end{gather*}
F{\"u}r die zugeh{\"o}rige homogene L{\"o}sung erh{\"a}lt man mit der Substitution
$\xi = 3y - \frac{1}{2}x$, $\eta = 3y + \frac{1}{2}x$:
\begin{gather*}
    u_h = g(3y - \frac{1}{2}x) + h(3y + \frac{1}{2}x)
\end{gather*}

\end{document}
