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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\huge{Runde 9, Beispiel 62}}

\Large{LVA 118.181, {\"U}bungsrunde 9, 12.01.2007}

\large{Markus Nemetz, \emph{markus.nemetz@tuwien.ac.at}, TU Wien,
08.01.2007}
\end{center}

\section{Angabe}
Berechnen Sie die Spektralfunktion von
\begin{gather*}
    f(t) = \begin{cases} t^2, & 0
    < t < 1 \\ 0, & \text{sonst.}
    \end{cases}
\end{gather*}

\section{Theoretische Grundlagen: Diskrete Fourier-Transformation.}
Die \textbf{Fourier-Transformation} ist eine
Integraltransformation, die einer Funktion eine andere Funktion
(ihre Fouriertransformierte) zuordnet. Sie ist eng mit der
Laplace-Transformation verbunden. In vielen Einsatzgebieten wird
sie dazu verwendet, um f{\"u}r zeitliche Signale (z. B. ein
Sprachsignal oder einen Spannungsverlauf) das Frequenzspektrum zu
berechnen (vgl. Fourieranalyse).

Allgemein umfasst der Begriff Fourier-Transformation eine Reihe
sehr {\"a}hnlicher Transformationen, welche Funktionen (auch endliche
und unendliche Folgen sind Funktionen) in Frequenzkomponenten oder
Elementarschwingungen zerlegen.

Die \textbf{Diskrete Fourier-Transformation} oder DFT ist die
Fourier-Transformation eines zeitdiskreten endlichen oder
periodischen Signals und somit ein Spezialfall der
Z-Transformation mit Werten auf dem Einheitskreis f{\"u}r $z$. Die DFT
ist das wichtigste Werkzeug in der Praxis der digitalen
Signalverarbeitung, da es schnelle Algorithmen zum Durchf{\"u}hren der
Transformation gibt. Am bekanntesten ist die FFT (Fast Fourier
Transformation), die schnelle Fourier-Transformation.

Die diskrete Fourier-Transformierte $\hat{a}=(\hat a_0,...,\hat
a_{N-1})\in\Bbb C^N$ eines komplexen Vektors
$a=(a_0,...,a_{N-1})\in\Bbb C^N$ hat die Koeffizienten
\begin{gather*}
    \hat a_k = \sum_{j=0}^{N-1} e^{-2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot a_j, \qquad k=0,\dots,N-1.
\end{gather*}
Dabei nennt man die $\hat a_k$ auch Fourierkoeffizienten oder
Fourierkomponenten.

Die inverse DFT (iDFT) a von $\hat a\in\Bbb C^N$ hat die
Koeffizienten
\begin{gather*}
    a_k=\frac 1 N \sum_{j=0}^{N-1} e^{2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot \hat a_j, \qquad
    k=0,\dots,N-1.\\
    F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dot e^{-i \cdot
    \omega \cdot t} \operatorname{d}t
\end{gather*}

\section{L{\"o}sung des Beispiels}
\begin{gather*}
     F(\omega)=\int_0^1 e^{-i\cdot \omega \cdot t} \cdot t^2 \cdot
     f(t) \operatorname{d}t = \dots \blacklozenge \dots =
     \frac{1}{\omega^3}\cdot (e^{-i\cdot \omega} \cdot (i\cdot \omega^2 + 2 \cdot \omega - 2 \cdot i) + 2 \cdot i)
\end{gather*}

$\blacklozenge \qquad$ zweimal partiell integrieren

\begin{itemize}
    \item F{\"u}r $\omega \neq 0$:
    \begin{gather*}
        F(\omega)=\frac{1}{\omega^3}\cdot (e^{-i\cdot \omega} \cdot (i\cdot \omega^2 + 2 \cdot \omega - 2 \cdot i) + 2 \cdot i)
    \end{gather*}
    \item F{\"u}r $\omega=0$: $F(\omega)=\frac{1}{3}$.
\end{itemize}

\end{document}
