Title: ADM: Lineare Algebra

FrontText: Vektorraum
BackText: Sei K ein Körper und (V,+) eine abelsche Gruppe. Weiters werde jedem λ ∈ K und x ∈ V ein Produkt λ.x∈V zugeordnet.
Die algebraische Struktur (V, +, K) heißt Vektorraum oder linearer Raum über K, wenn die folgenden Eigenschaften (für alle λ,µ ∈ K und x,y ∈ V) erfüllt sind:

FrontText: Unterraum (Teilraum)
BackText: Sei (V, +, K) ein Vektorraum und U eine nichtleere Teilmenge von V. Bildet (U, +, K) wieder einen Vektorraum, dann heißt U Unterraum oder Teilraum von V.

FrontText: Nebenraum
BackText: Sei U ein Unterraum eines Vektorraums V und x₀ ein Vektor aus V.
Die Menge
N= x₀ +U = {x₀ + u | u ∈ U}
heißt Nebenraum von U.

FrontText: Linearkombination
Koeffizienten
trivial
nichttrivial

FrontText: lineare Hülle
BackText: Die lineare Hülle [M] einer nichtleeren Teilmenge M von V ist die Menge aller Vektoren, die durch Linearkombinationen von (endlich vielen) Vektoren aus M gebildet werden können. Weiters setzt man [∅] = {O}.

FrontText: linear unabhängig
linear abhängig

FrontText: kanonische Basis
BackText: Die Vektoren e₁,e₂,...eₙ bilden die kanonische Basis E={e₁,e₂,...eₙ} von Kⁿ.

FrontText: Basis
Koordinaten
BackText: Eine Teilmenge B eines Vektorraums V heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig ist und ihre lineare Hülle [B] gleich V ist.
Jeder Vektor x aus V lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren der Basis darstellen. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen Koordinaten von x bezüglich der Basis B.

FrontText: Dimension
unendlichdimensional
BackText: Besitzt ein Vektorraum V eine endliche Basis B, so ist die Dimension dim V gleich der Anzahl IB I der Vektoren von B.
Besitzt V keine endliche Basis, so heißt er unendIichdimensional.

FrontText: quadratische Matrix
BackText: Eine Matrix A ∈ Kⁿⁿ mit gleicher Spalten- und Zeilenanzahl heißt quadratisch.

FrontText: transportierte Matrix
symmetrisch

FrontText: Einheitsmatrix

FrontText: Diagonalmatrix

FrontText: invertierbare Matrizen
inverse Matrix
singuläre Matrizen

FrontText: Spaltenrang
Zeilenrang

FrontText: elementare Spaltenumformungen
BackText: i. Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar
ii. Addieren eines Vielfachen einer Spalte zu anderer Spalte
iii. Vertauschen zweier Spalten

FrontText: elementare Zeilenumformungen
BackText: i. Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar
ii. Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu anderer Spalte
iii. Vertauschen zweier Zeilen

FrontText: Kern
BackText: Die Menge der Werte von x, die Funktion der linearen Abbildung f(x)=0 machen.
ker (f) = {x ∈ V : f(x) = O}

FrontText: Bild
BackText: f (V) = { f(x) : x∈V}

FrontText: Rang
BackText: Die Dimension des Bilds
def (f) = dim (ker (f))

FrontText: Defekt
BackText: Die Dimension des Kerns
rg (f) = dim (f (V))

FrontText: Rangformel
BackText: Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f : V → W eine
lineare Abbildung. Dann gilt
rg(f) +def(f) = dim V

FrontText: Satz von Kronecker-Capelli

FrontText: eindeutige Lösung
BackText: rang (A) = rang (A|b) =n
123| 1
A =056| 2
009|3

FrontText: unendlich viele Lösungen
BackText: rang (A) = rang (A|b) < n
123|0
A=056|0
000|0

FrontText: keine Lösung
BackText: rang(A) ≠ rang (A|b)
123|1
A= 056|2
000|3

FrontText: Rechenregeln der Determinante
BackText: i. det (A.B) = det A. det B
ii. det (A⁻¹)= (det A)⁻¹
iii. det(A') = detA

FrontText: Kofaktor
BackText: Determinante jener Matrix, die dadurch hervorgeht, dass man eHe j-te Spalte durch den Vektor ei der kanonischen Basis ersetzt.

FrontText: Laplace'scher Entwicklungssatz

FrontText: Cramer'sche Regel

FrontText: Eigenwert
Eigenvektoren

FrontText: Ein Skalar ist genau dann Eigenwert von A, wenn..

FrontText: charakteristische Polynom
BackText: ℵ (λ) = det (λ.Iₙ - A)

FrontText: Skalarprodukt zweier Vektoren

FrontText: Zwei Vektoren x,y heißen orthogonal, wenn das Skalarprodukt..
BackText: =0

FrontText: Die Länge eines x ∈ Rⁿ

FrontText: Cauchy Schwarz'sche Ungleichung
BackText: ||≤‖x‖.‖y‖

FrontText: Pythagoräischer Lehrsatz
BackText: ‖x+y‖²=‖x‖²+‖y‖²