Baustein:Diskrete Fourier-Transformationen

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Diskrete Fourier-Transformationen[Bearbeiten]

DFT

Transformation in den Frequenzbereich. Entspricht Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Amplitude und Phase für jede Frequenz k).


c_k = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} y_j w^{-kj}, \quad \quad k=0,1,...N-1

bzw mit Fourier-Matrix F_N (Die inverse bzw. konjugiert komplexe Fourier-Matrix wird dafür benötigt  F_N^{-1} = \tfrac{1}{N} \overline{F_N})


\vec c = F_N^{-1} \vec y = \tfrac{1}{N} \overline{F_N} \vec y

IDFT

Rücktransformation in den Zeitbereich. Entspricht Rekonstruktion des Signals auf Basis der Fourier-Koeffizienten.


y_j = \sum_{k=0}^{N-1} c_k w^{kj}, \quad \quad j=0,1,...N-1  \quad\quad\quad w = e^{\frac {i2\pi}{N}}

bzw mit Fourier-Matrix:


\vec y = F_N \vec c

Wichtig: Die Normalisierung \tfrac{1}{N} kann entweder bei der DFT oder bei der IDFT vorgenommmen werden. Das ist reine Konventionssache.