Baustein:Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

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Elementare Spalten- und Zeilenumformungen[Bearbeiten]

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\
                          3 & 4  \end{pmatrix}

det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\
                               3 & 4  \end{vmatrix} = 2*4 - 1*3 = 5

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

  1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix \lambda mit einem Faktor \lambda \in K, so ist die Determinante der neuen Matrix det(A') = \lambda*det(A). z.B.: \lambda = 3 multipliziert mit 1. Spalte: det A'=\begin{vmatrix} 6 & 1 \\
                             9 & 4  \end{vmatrix} = 6*4 - 1*9 = 15
  2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: det A'=\begin{vmatrix} 2 & 5 \\
                             3 & 10  \end{vmatrix} = 2*10 - 3*5 = 5
  3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix det(A_r) = -det(A). z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: det A'=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\
                             4 & 3  \end{vmatrix} = 1*3 - 2*4 = -5