Baustein:Konvergenz einer Folge

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Konvergenz einer Folge[Bearbeiten]

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

  1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
    In \mathbb R (aber z.B. nicht in \mathbb Q!) gilt:
    • a_n \nearrow:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{sup}(a_n)_{n\in\mathbb N}
    • a_n \searrow:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{inf}(a_n)_{n\in\mathbb N}
  3. \lim x_n=x,\;\lim y_n=y\Longrightarrow\begin{cases}
\lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\
\lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\
\lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}\qquad y_n, y\neq0
\end{cases}