Baustein:Wegunabhängigkeit

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Wegunabhängigkeit[Bearbeiten]
Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten]

Ein stetig differenzierbares Gradientenfeld f erfüllt folgende s.g. Integrabilitätsbedingung:

\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \quad \forall\, i,j \in \{1 \dots n \}
In \R^3 wären das also \frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial f_2}{\partial x}, \frac{\partial f_2}{\partial z}=\frac{\partial f_3}{\partial y} und \frac{\partial f_3}{\partial x}=\frac{\partial f_1}{\partial z}.

Dies ist hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten.

Einfach zusammenhängendes Gebiet[Bearbeiten]
Gebiet[Bearbeiten]

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge D \subseteq \R^n heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im \R^3 gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In \R^2 darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.

Jedes Kurvenintegral von einem Gradientenfeld ist längs jeder stetig differenzierbaren Kurve wegunabhängig (Umkehrschluss gilt auch).

Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals längs Kurve \vec c: [a, b] \rightarrow D (wobei D \subseteq \mathbb R^2 Gebiet auf welchem das Gradientenfeld ist) bedeutet:

  • dass ein solches Kurvenintegral allein durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt ist
  • falls Kurve geschlossen ist, der Wert des Integrals 0 ergibt: \oint_\vec c \vec f(\vec x)\,\mathrm d \vec x= 0
  • ist F die Stammfunktion des Gradientenfelds dann gilt:

\int_\vec c\vec f(\vec x)\,\mathrm d \vec x= F(\vec c(b)) - F(\vec c(a))