Kategorie:Determinante

Determinante Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Eigenschaften der Determinante

1. ${\displaystyle \det E=1}$ für Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$
2. ${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$, wobei ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$ die transponierte Matrix von ${\displaystyle A}$ ist.
3. ${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}.}$
4. Für quadratische Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$.

5. ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$ für eine ${\displaystyle n\times n}$ Matrix ${\displaystyle A}$ und eine Zahl ${\displaystyle c}$.
6. Für eine Dreiecksmatrix ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und ${\displaystyle c}$ eine Zahl, so gelten:

    a1) ${\displaystyle \det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})=\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})+\det({\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})}$,

    a2) ${\displaystyle \det({\color {red}c}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})={\color {red}c}\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) ${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für ${\displaystyle 3\times 3}$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus