Kategorie:Determinante

Determinante Eigenschaften

• Eigenschaften der Determinante

1. ${\displaystyle detE=1}$ für Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$
2. ${\displaystyle det\left(A^{\mathsf{\text{𝖳}}}\right)=det(A)}$, wobei ${\displaystyle A^{\mathsf{\text{𝖳}}}}$ die transponierte Matrix von ${\displaystyle A}$ ist.
3. ${\displaystyle det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det(A)}.}$
4. Für quadratische Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   ${\displaystyle det(AB)=det(A)det(B)}$.

5. ${\displaystyle det(cA)=c^{n}det(A)}$ für eine ${\displaystyle n\times n}$ Matrix ${\displaystyle A}$ und eine Zahl ${\displaystyle c}$.
6. Für eine Dreiecksmatrix ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle det(A)=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und ${\displaystyle c}$ eine Zahl, so gelten:

    a1) ${\displaystyle det(v_1+w,v_2,\dots ,v_n)=det(v_1,v_2,\dots ,v_n)+det(w,v_2,\dots ,v_n)}$,

    a2) ${\displaystyle det(c{v}_1,v_2,\dots ,v_n)=cdet(v_1,v_2,\dots ,v_n)}$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) ${\displaystyle det(v_1,\dots ,v_n)}$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für ${\displaystyle 3\times 3}$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus