Kategorie:Diskrete Fourier-Transformationen

Diskrete Fourier-Transformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

DFT

Transformation in den Frequenzbereich. Entspricht Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Amplitude und Phase für jede Frequenz ${\displaystyle k}$).

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}y_{j}w^{-kj},\quad \quad k=0,1,...N-1}$

bzw mit Fourier-Matrix ${\displaystyle F_{N}}$ (Die inverse bzw. konjugiert komplexe Fourier-Matrix wird dafür benötigt ${\displaystyle F_{N}^{-1}={\tfrac {1}{N}}{\overline {F_{N}}}}$)

${\displaystyle {\vec {c}}=F_{N}^{-1}{\vec {y}}={\tfrac {1}{N}}{\overline {F_{N}}}{\vec {y}}}$

IDFT

Rücktransformation in den Zeitbereich. Entspricht Rekonstruktion des Signals auf Basis der Fourier-Koeffizienten.

${\displaystyle y_{j}=\sum _{k=0}^{N-1}c_{k}w^{kj},\quad \quad j=0,1,...N-1\quad \quad \quad w=e^{\frac {i2\pi }{N}}}$

bzw mit Fourier-Matrix:

${\displaystyle {\vec {y}}=F_{N}{\vec {c}}}$

Wichtig: Die Normalisierung ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ kann entweder bei der DFT oder bei der IDFT vorgenommmen werden. Das ist reine Konventionssache.