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Lösungsvorschlag hinzugefügt
Man zeige, dass eine Menge <math>O \subseteq \R^2</math> bzgl. der Euklidischen Metrik <math>d_2</math> offen ist genau dann, wenn <math>O</math> offen ist bzgl. der Summen-Metrik <math>d_1</math>.
}}
 == Hilfreiches =={{ungelöstBaustein:Offene Menge}} ===== Euklidische Distanzen =====<math>d_1((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|</math> <math>d_2((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}</math> == Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Derpizzabäcker|DerPizzabäcker]] ==Zuerst einmal schreiben wir die Angabe nochmal als Formel auf: <math>x \in O \implies \exists U_e(x) \subseteq O \iff x \in O \implies \exists U_d(x) \subseteq O</math> wobei <math>U_e</math> von d2 abhängt und <math>U_d</math> von d1. Die Aussage <math>\exists U_e(x)</math> kann man auch als <math>\exists y \in O, e > 0: d_2(x, y) < e</math> anschreiben. (Also es existiert ein y in einer epsilon Umgebung). Wenn wir nun zeigen, dass <math>\exists y \in O, e > 0: d_2(x, y) < e</math> und <math>\exists y \in O, d > 0: d_1(x, y) < d</math> äquivalent sind, so sind auch die ursprünglichen Formeln äquivalent. Dazu formen wir beide Ausdrücke so um, dass sie ähnlich ausschauen: <math>d_2(x, y) < e \iff\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2} < e \iff(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < e^2</math><math>d_1(x, y) < d \iff|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| < d \iff(x_1 - y_1)^2 + 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2| + (x_2 - y_2)^2 < d^2 \iff(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < d^2 - 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2|</math> Hier sieht man, dass die beiden Aussagen auf der linken Seite ident sind, aber auf der rechten etwas unterschiedlich. Wenn wir nun <math>e^2 = d^2 - 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2|</math> wählen sind sie ident.  --[[Benutzer:Derpizzabäcker|DerPizzabäcker]] 09:01, 12. Jun. 2019 (CEST)
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