TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 100

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Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Identitäten für Mengen:

 (A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)

Wahrheitstabelle[Bearbeiten]

Was eine Elementtablle ist, könnt ihr im "orangen Buch", Seite 34, nachlesen.

Die Elementtabelle sieht folgendermaßen aus:

a \in A b \in  B c \in C A \times B A \times C (A \times B) \cap (A \times C) B \cap C A \times (B \cap C)
\notin \notin \notin \notin \notin \notin \notin \notin
\notin \notin \in \notin \notin \notin \notin \notin
\notin \in \notin \notin \notin \notin \notin \notin
\notin \in \in \notin \notin \notin \in \notin
\in \notin \notin \notin \notin \notin \notin \notin
\in \notin \in \notin \in \notin \notin \notin
\in \in \notin \in \notin \notin \notin \notin
\in \in \in \in \in \in \in \in

-->  (A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)

--- bla: Geht leider nicht, da man ein Element x nimmt und schaut ob es in den Mengen enthalten ist. Bei AxB entsteht eine Menge von Tupel, da ist x nicht dabei. Blöd gelaufen - hat unser Tutor so bestätigt...

Die Elementetafel geht in der Form nicht, wegen dem kartesischem Produkt.

Zweiter Lösungsansatz (andihi):

 (A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)  =  \{ (x,y)|(x\in A \wedge y\in B) \wedge (x\in A\wedge y\in C)\} =  \{(x,y)| x\in A\wedge (y\in B\wedge y\in C)\} = \{(x,y)| x\in A\wedge (y\in B\cap C)\} = \text{gleichbedeutend mit:} A \times (B \cap C)