TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 11

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Ist F_{0}=0,F_{1}=1 und F_{n+2} = F_{n+1}+F_{n} für alle n \in \mathbb{N}, so gilt

F_{n} = {1 \over \sqrt5} \Bigg[\Bigg({1+ \sqrt5 \over 2}\Bigg)^n-\Bigg({1- \sqrt5 \over 2}\Bigg)^n\Bigg]

Lösung[Bearbeiten]

Induktionsvoraussetzung
F_{n} = {1 \over \sqrt5} [({1+ \sqrt5 \over 2})^n-({1- \sqrt5 \over 2})^n] für n \in \mathbb{N}
in weiterer Folge verwende ich:
({1+ \sqrt5 \over 2}) = a
({1- \sqrt5 \over 2}) = b

F_{n} = {1 \over \sqrt5} [a^n-b^n]
Induktionsbehauptung F_{n+2} = {1 \over \sqrt5} [a^{n+2}-b^{n+2}]
Induktionsanfang
F_{0} = {1 \over \sqrt5} (a^0-b^0) = {1 \over \sqrt5}  (1-1) = 0
F_{1} = {1 \over \sqrt5} (a^1-b^1) = {1 \over \sqrt5} [({1+ \sqrt5 \over 2})^1-({1- \sqrt5 \over 2})^1] = {1 \over \sqrt5} [({1+ \sqrt5 - 1 + \sqrt5 \over 2})] = 1

Induktionsschluss
(I) F_{n+2} = {1 \over \sqrt5} [a^{n+2}-b^{n+2}]
(II) F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} = {1 \over \sqrt5} [a^{n+1}-b^{n+1}] + {1 \over \sqrt5} [a^{n}-b^{n}]

{1 \over \sqrt5} [a^{n+1}-b^{n+1}] + {1 \over \sqrt5} [a^{n}-b^{n}] = {1 \over \sqrt5} [a^{n+2}-b^{n+2}]
kürzen von {1 \over \sqrt5}.
a^{n} - b^{n} + a^{n+1} - b^{n+1} = a^{n+2} - b^{n+2}

umformen

a^{n}  + a^{n+1} - a^{n+2} =  b^{n} + b^{n+1} - b^{n+2}

a^{n} bzw. b^{n} herausheben

a^{n} (1 + a - a^2) =  b^{n} (1 + b - b^2)

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: a^{n} (1 + a - a^2)
rechte Seite: b^{n} (1 + b - b^2)

linke Seite: wir betrachten nur (1 + a - a^2) und setzen ein:
[1 + ({1+ \sqrt5 \over 2}) - ({1+ \sqrt5 \over 2})^2] = {4 + 2 + 2\sqrt5 - 6 - 2\sqrt5 \over 4} = 0

rechte Seite: wir betrachten nur (1 + b - b^2) und setzen ein:
[1 + ({1- \sqrt5 \over 2}) - ({1- \sqrt5 \over 2})^2] = {4 + 2 - 2\sqrt5 - 6 + 2\sqrt5 \over 4} = 0

a^{n}*0 =  b^{n}*0

0 = 0

q.e.d.

Vorzeichenverschreiber im vorletzten ...=0 Term ausgebessert. --aknoxx

Links[Bearbeiten]

Ähnliches Beispiel:

  • [1] - Beispiel 2)b)