TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 116

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Sei T_{70} die Menge alle natürlichen Zahlen, die 70 teilen. Man vergleiche die Hassediagramme der beiden Halbordnungen \langle \mathcal{P}(\{a,b,c\}), \subseteq \rangle und \langle T_{70},|\rangle.

Lösung für \langle \mathcal{P}(\{a,b,c\}), \subseteq \rangle:

Die Potenzmenge der Menge {a,b,c}, also \mathcal{P}(\{a,b,c\}) = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}.

Das Hasse-Diagramm sieht daher wie folgt aus:

Hasse-Diagramm zu Bsp. 94 a

Das bedeutet: \emptyset \subseteq \{a\}, \emptyset \subseteq \{b\}, \emptyset \subseteq \{c\}, \{a\} \subseteq \{a,b\} etc.

Lösung für \langle T_{70}, | \rangle:

Die Menge T_{70} bezeichnet die Menge aller Teiler von 70. Alle Zahlen sind durch 1 und durch sich selbst teilbar. Nicht-Primzahlen wie 70 sind zusätzlich noch durch ihre Primfaktoren (in diesem Fall 2, 5 und 7) und durch die Kombinationen dieser Primfaktoren (2 \cdot 5 = 10, 2 \cdot 7 = 14, 5 \cdot 7 = 35) teilbar. Daher ist

T_{70} = \{1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70\}

Das Hasse-Diagramm dazu:

Hasse-Diagramm zu Bsp. 94 b

(Von Deez):

Das bedeutet: 1 | 2, 1 | 5, 1 | 7, 2 | 10, 2 | 14 etc.

Die Ähnlichkeit sehe ich wie folgt: Setzt man die Mengen wie folgt {1,2,5,7} {0,a,b,c} und sieht das als 1 = 0 (leere menge) 2 = a 5 = b 7 = c

und damit löst sich das gesamten Hasse Diagramme ineinander auf: 70 = {a,b,c} = 2 * 5 * 7 14 = 2*7 = {a,c}

Das heist < P(2,5,7), *> (ich hoff ich hab das formal richtig definiert) deckt sich mit der Definition von < P(a,b,c), <= ) und 2,5,7 entspricht genau den Primfaktoren von 70!

Nachsatz von Mnemetz : Es handelt sich um einen Isomorphismus!