TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 119

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Sei .

Ist R eine Halbordnung auf ?

Hilfreiches[edit]

Halbordnung
Halbordnung[edit]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: ,
  • Antisymmetrie: ,
  • Transitivität: .

Damit die Relation R eine Halbordnung ist, muß sie die Eigenschaften Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität erfüllen.

Reflexivität: ?

reflexiv.

Antisymmetrie: ?

Aus folgt . Diese Äquivalenz ist aber nicht nur erfüllt, wenn , sondern aufgrund der Absolutbeträge auch wenn , daher ist R nicht antisymmetrisch.

Von Axel:

Ich habe die Antisymmetrie ein bisserl anders gemacht, der Grund: Wenn ich das Widerlegen von "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" als Beweisgrundlage hernehme, dann wird der Panholzer fragen woher ich wissen will, dass "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" und "mRn und nRm impliziert n=m" Äquivalent sind ;-)

Wenn man das gleich "von hinten rum" macht geht es imho einfacher:

Beweise/Wiederlege die Annahme: Aus mRn und nRm folgt m=n fuer alle m,n Element Z.

Sei m Element Z und m groesser 0 und n = -m. Dann ist wegen |m|<=|-m| mRn gegeben, und wegen |-m|<=|m| nRm geben, aber m ungleich n, also die Annahme wiederlegt.

Von Jens: Aus folgt aufgrund der Antisymmetrie der Halbordnung , daß . So ist die Definition der Kleiner-gleich-Relation, das mußt Du nicht extra beweisen.

Transitivität: ?

Daraus folgt, daß R transitiv ist.

Da R nur die Eigenschaften Reflexivität und Transitivität erfüllt, nicht aber die Antisymmetrie, ist R keine Halbordnung auf .

Graphische Ergänzung[edit]

TU Wien-Mathematik 1 UE (diverse) - Skizze Bsp 102.png

Orangene Linien zeigen die Reflexivität, da und

Blaue Linien zeigen Transitivität, da und

Rote Linien widerlegen die Antisymmetrie, da und