TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 12

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Ist L_{0}=2, L_{1}=1 und L_{n+2} = L_{n+1}+L_{n} für alle n \in \mathbb{N}, so gilt

L_{n} = \left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]

Lösung[Bearbeiten]

Induktionsvoraussetzung
L_{n} = [({1+ \sqrt5 \over 2})^n-({1- \sqrt5 \over 2})^n] für n \in \mathbb{N}
in weiterer Folge verwende ich:
({1+ \sqrt5 \over 2}) = a
({1- \sqrt5 \over 2}) = b

L_{n} = [a^n-b^n]
Induktionsbehauptung L_{n+2} = [a^{n+2}+b^{n+2}]
Induktionsanfang
L_{0} = (a^0+b^0) = (1+1) = 2
L_{1} = (a^1+b^1) = [({1+ \sqrt5 \over 2})^1+({1- \sqrt5 \over 2})^1] = [({1+ \sqrt5 + 1 - \sqrt5 \over 2})] = 1

Induktionsschluss
(I) L_{n+2} = [a^{n+2}+b^{n+2}]
(II) L_{n+2} = L_{n+1} + L_{n} = [a^{n+1}+b^{n+1}] + [a^{n}+b^{n}]
Kommentar: Hier ist ein Fehler, hier wird aus der Induktionsbehauptung eingesetzt um sie zu beweisen. Siehe Diskussion.
[a^{n+1}+b^{n+1}] + [a^{n}+b^{n}] = [a^{n+2}+b^{n+2}]
auflösen
a^{n+1} + b^{n+1} + a^{n} + b^{n} = a^{n+2} + b^{n+2}

umformen

a^{n} + a^{n+1} - a^{n+2} = - b^{n} - b^{n+1} + b^{n+2}

a^{n} bzw. b^{n} herausheben

a^{n} (1 + a - a^2) =  b^{n} (-1 - b + b^2)

Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: a^{n} (1 + a - a^2)
rechte Seite: b^{n} (-1 - b + b^2)

linke Seite: wir betrachten nur (1 + a - a^2) und setzen ein:
[1 + ({1+ \sqrt5 \over 2}) - ({1+ \sqrt5 \over 2})^2] = {4 + 2 + 2\sqrt5 - 1 - 2\sqrt5 - 5 \over 4} = 0

rechte Seite: wir betrachten nur (-1 - b + b^2) und setzen ein:
[-1 - ({1- \sqrt5 \over 2}) + ({1- \sqrt5 \over 2})^2] = {-4 - 2 + 2\sqrt5 + 1 - 2\sqrt5 +5 \over 4} = 0

a^{n}*0 =  b^{n}*0

0 = 0

q.e.d.

Links[Bearbeiten]

Ähnliches Beispiel: