TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 123

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Seien und Halbordnungen auf der Menge M. man beweise, dass dann auch ihr Durchschnitt Halbordnung auf M ist.

Hilfreiches[edit]

Halbordnung
Halbordnung[edit]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: ,
  • Antisymmetrie: ,
  • Transitivität: .

Lösungsvorschlag[edit]

Prinzipiell muss man sich nur klar werden, dass nur alle jene Tupel sind wenn gilt

damit lassen sich die Eigenschaften einer Halbordung relativ leicht zeigen.

Reflexivität[edit]

Nachdem die rechte Seite auf jeden Fall gilt ( sind per Definition Halbordnungen), muss auch die linke Seite gelten

Antisymmetrie[edit]

In anderen Worten: Würde nicht gelten, dann würde es auch keine Beziehung der Form geben. Daher kann aber (a,b) kein Element von R sein.

Transitivität[edit]

Nur weil die Transitivität sowohl in als auch gilt, sind die Elemente in der Schnittmenge R. Dadurch gilt die Transitivität aber natürlich auch in der Schnittmenge selbst.